Exercice angle orienté, reperage, coordonnées polaires



  • Bonjour, voila je bloque sur un exercice :

    A,B et C sont trois points de coordonnées polaires respectives (r, O) (r, 2π/3) (r, 4π/3) avec r suprieur a 0.

    1. Justifier que OA=OB=OC et calculer une mesure de chacun des angles orientés: (OA, OB) , (OB, OC) et (OC, OA).

    2)déduisez en que la rotation de centre O et d'angle 2[/smb]
    /3 transforma A en B, B en C et C en A.

    3)a) Démontrez que ABC est un triangle equilatéral.
    b) I est le milieu de [BC]. Justifier que OI=r/2.
    Déduisez en le coté de ABC en fonction de r.

    -pour la question 1) je trouve 2π/3 partout mais pour (OC, OA) je trouve pas comment faire.
    -la question 2) pas de problème
    -la 3) par contre je bloque...pour la a) j'ai essayer d'utiliser la propriété sur les angles d'un triangle equilateral ( egal a 30°) mais je n'arrive pas a les calculer. et la b) je n'arrive pas non plus.



  • Bonsoir,

    Si tu fais un petit dessin, tout devient évident.
    Tu peut utiliser (OA,OC)+(OC,OA)=2∏

    Par ailleurs, tu peux aussi utiliser des propriétés des triangles équilatéraux pour la suite. Il en existe qui te permettront de répondre à ta question



  • bonsoir,

    oui j'avais deja fais un dessin, c'est sur c'est evident en le voyant mais pour démontrer c'est autre chose ....

    ou est ce que je dois utiliser (OA,OC)+(OC,OA)=2∏ ?



  • Pour calculer (OC,OA)...

    Pour le reste, tu peux montrer facilement que les 3 angles sont égaux, par exemple en considérant les 3 triangles isocèles AOC, BOC et COA, en calculant les angles de base et en les sommant pour obtenir la valeur des angles ABC, BCA et CAB.

    Ensuite, puisque tu auras montré que ABC est équilatéral, le milieu de BC est sur la droite OA ( médiane=médiatrice=hauteur). Avec de la trigo, tu dois trouver que OI=r/2, puis la mesure d'un côté de ABC.



  • D'accord merci 😄

    j'ai rédiger la 3eme qestion, je voudrais juste savoir si c'est bon:

    1. a) Les triangles AOC, BOC etCOA sont des triangles isoceles puisque [OA]=[OB]=[OC] car ce sont tous les trois des rayons du cercle. Ces triangles sont donc égaux.
      Et comme - l'angle CBA = (CB,BO) + (OB,BA)
    • l'angle BAC = (BA,AO) + (OA,AC)
    • l'angle ACB = (AC,CO)+(OC,OB)
      Les trois angles CBA, BAC et ACB sont donc tous les trois égaux, le triangle ABC est donc equilatéral.

    b)

    • Comme ABC est equilateral, le milieu de BC se trouve sur (OA) (qui est une mediane/mediatrice/hauteur du triangle)
      Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de centre O, alors O est le centre de gravité de ce triangle. G se situr donc au deux tiers des medianes du triangle (AO=2/3AI) donc OI= 1/3 IA. Puisque OA est le rayon du cercle, OA/2=1/3 AI. donc r/2=1/3 alors OI=1/3IA=r/2.

    • Le triangle BOI est rectangle en I puisque (OI) est une hauteur du tringle equilateral ABC.
      D'apres le theoreme de Pythagore :
      BI²=BO²-IO² (avec BO=r et IO=r/2)
      BI²=r² -( r/2)²
      BI= √3/2 x r

    et comme I=m[BC] , BI=IC, BC=BIx2
    BC=√3 x r


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