Résoudre un problème de géométrie à l'aide des formules trigonométriques



  • Bonjour à tous! Je m'appelle Jéremy et j'ai un DM à rendre pour lundi malheuresement je bloque un peu sur la dernière question.

    énoncé :
    Dans un triangle ABC, on appelle O le centre du cercle circonscrit , G le centre de gravité et H l'hortocentre, A' est le point diamétricalement opposé à A sur le cercler circonscrit.
    questions:

    1. Démontrer que (CH) est parallèle à (BA')
      2.Montrer que [BC] et [HA'] ont même milieu I.
    2. En déduire que G est le centre de gravité du triangle AHA'.
    3. Quelle est la position du point G par rapport aux points O et H ?

    Mes réponses :

    1. AA'B est un triangle inscrit dans le cercle, [AA'] est un diamètre du cercle, donc AA'B est rectangle en B.
      Donc [A'B] est perpendiculaire à [AB]
      De plus (CH) est la hauteur issue de l anlge C qui coupe son côté opposé [AB]
      Donc [CH] est perpendiculaire à [AB]
      Donc [A'B] et [CH] sont perpendiculaires à [AB]
      Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.

    Donc [A'B] et [CH] sont parallèles.

    1. De la même manière je prouve que [CA'] et [BH] sont parallèles.
      AA'C est un triangle inscrit dans le cercle, [AA'] est un diamètre du cercle, donc AA'C est rectangle en C.
      Donc [A'C] est perpendiculaire à [AC]
      De plus (BH) est la hauteur issue de l anlge B qui coupe son côté opposé [AC]
      Donc [BH] est perpendiculaire à [AC]
      Donc [A'C] et [BH] sont perpendiculaires à [AC]
      Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles.
      Donc [A'C] et [BH] sont parallèles.
      CHBA' est un quadrilatère et [A'B] et [CH] sont parallèles
      [A'C] et [BH] sont parallèles
      Un quadrilatère est un parallélogramme si ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.
      Donc CHBA' est un parallélogramme.
      Les diagonales d'un parallélogramme ont le même milieu donc [CB] et [A'H] ont le même milieu I .

    2. (GA) passe par le milieu de (HA')
      (GH) passe par le milieu de (AA')
      (GA') passe par le milieu de (HA)
      Donc G est le point de concours des 3 médianes

    Donc G est le centre de gravité du triangle AHA'.

    1. G est le milieu de [OH] ??

    Voila un énorme doute sur la dernière question. Merci d'avance pour vos réponses !
    Bonne journée !



  • Dans ce genre de cas, fais un dessin à l'échelle ou utilise un logiciel de construction géométrique genre cabri ou geogebra pour trouver la réponse et ensuite essaye de justifier.

    En fait tu as tout prouvé avant:
    G est le centre de gravité du triangle AHA' et O est le milieu de [AA']. Donc [HO] est la médiane. Où se trouve le centre de gravité sur une médiane?


 

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