Donner la fonction rayon d'une sphère

Bonjour,
J'ai un DM a rendre bientot et je bloque sur un exercice:

Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cyclindre de hauteur h. Les deux bases du cylindre sont des cercles de la shère de rayon r.

Exprimer r en fonction de R et H
Ici pas de soucis, j'ai représenté une coupe de la situation selon la hauteur du cylindre, on retrouve donc un triangle rectangle, on applique alors le théoreme de Pythagore et on trouve $r=r2−h24r=\sqrt{ r^2 -\frac{h^2}{4}}$

2)a)Calculez le vlume du cylindre en fonction de h
Ici aussi pas de probleme, d'apres la formule du volume d'un cylindre πr²h, j'ai remplacé r² par ce que j'avais dans la 1), ce qui donne :

$v=π×(r2−h24)×hv=\pi\times (r^2 -\frac{h^2}{4})\times h$

B)Pour quelle valeur de h le volume est il maximal ?
c'est ici que je bloque, je pense qu'il faut utiliser la dérivation car jusqu'à present on ne l'a pas utiliser mais je ne comprend pas comment...

Merci de votre aide

miu :j'ai réécris tes formules pour une meilleure lisibilité

coucou

alors on a pour h positif bien sur

$\frac{\pi\times (4r^2- h^2)\times h}{4}$

$\frac{\pi\times 4r^2\times h- \pi\times h^3}{4}$

en effet il va falloir étudier les variations de V donc calculer la dérivée

tu sais faire ?

ben je pense mais je comprens pas pourquoi le tout est sur 4 ?

a oui mince excuse c'est $4 r^2$
tu reprends ton r

je modifie le post

c'est un produit donc le 4 est au dénominateur
ok ?!

oui mais le 4 il est pas dans le produit il est dans la parenthese...en developpant ça donne

πR²h - (πh³)/4 ou (4πR²h-πh³)/4 non?

et bien ce n'est pas ça que je viens de marquer ?
j'avais juste oublié le 4 devant le R²

je ne vois pas ce qui te gène en fait

ab(1/c) = (a*b)/c

ah oui désolé.. donc il faut calculer la dérivée de (πx4R²xh-πh³)/4 ?
Mais c'est quoi la dérivée de π ?

$π\pi$ c'est un réel (exceptionnel mais c'est un réel quand même)
^^
donc la dérivée d'un réel c'est ...

lol oui pas con donc la dérivée c'es : (8πRh - 3πh²) /4 ?

non ce n'est pas du $h^2$ que tu as comme premier terme au numératuer c'est du $h$ donc la dérivée c'est ...

mais c'est R² que j'ai dérivé dans le 1ere terme ...

non en plus j'ai bien spécifié c'est V(h) ce qui varie ce n'est pas R mais h !!

tu ne dois toucher au R² c'est un réel comme $π\pi$ donc la dérivée est ...

ah oui ! merci de ta patience en tout cas (mais faut me comprendre il est tard lol) donc je reprend la dérivée c'est donc : (πx4R² - 3πh²)/4 ?

oui voilà très bien
(il n'est pas tard il est tôt ^^)

$\frac{\pi 4 r^2 - 3\pi h^2}{4}$

bon alors maintenant tu vas me faire le tableau de variations
ensuite tu vas répondre a cette question

A un extremum le coefficient directeur de la tangente vaut combien ?

ps : je vais dormir
@++ peut être

ouf ! bon ensuite je suppose qu'il faut trouver les valeur de h pour que V' s'annule ?

ok bonne nuit, je vais essayer. @++

oui
fait ton tableau avec tes limites je sais bien que ce n'est pas forcément demandé mais bon
si tu expliques bien pourquoi tu dois résoudre V'(h) = 0 pour répondre a l'exercice tu peux te passer du tableau

Bon j'y arrive pas du tout....je comprend pas comment on trouve les valeur de h pour annuler V'...jvais me coucher. Merci encore

bon ok ce n'est pas grave on va le faire ensemble

$\frac{\pi 4 r^2 - 3\pi h^2}{4}$

donc
$v^{'} (h) = 0$
⇔

$π4r24=3πh24\frac{\pi 4 r^2}{4} = \frac{3 \pi h^2}{4}$
⇔
(on multiplie par $4$ )

$π4r2=3πh2\pi 4 r^2 = 3 \pi h^2$
⇔
(on divise par $π\pi$ )

$4 r^2 = 3 h^2$
⇔

(on isole le $h^2$ )

$4r23=h2\frac{4 r^2}{3} = h^2$ maintenant il faut prendre la racine

h est toujours positif donc tu n'as qu'une seule solution

je te laisse finir
dis moi si c'est ok

On trouve donc h s'annule pour h= (2R√3)/3 et h= -(2R√3)/3
Mais comme h est toujours positif la seule solution est donc h= (2R√3)/3.

V a donc pour valeur maximale pour h= (2R√3)/3. (j'éspère que c'est ça )

il faut que tu le prouves qu'est ce qui te dit que ce n'est pas le minimum
(je sais bien que c'est le maximum mais je fais la prof là ^^ )

il faut que tu fasses le tableau pas le choix pour prouver que la fonction est strictement croissante puis strictement décroissante donc que ta valeur est bien le maximum

ok mais je prend quoi pour la fonction? parce que avec π et R ???

ah non c'est bon j'ai compris ...jfais ça et je le poste

ok
j'attends un peu

voila :

c'est forcément faux
pour avoir un maximum la fonction doit être croissante puis décroissante ...

ah mais oui .....donc j'ai juste a inverser et c'est bon ?

ba oui mais bon il faut le prouver
en étudiant le signe de la dérivée
je vais aller dormir là +++

mais la tableau de signe c'es pas l'etude de son signe ....ça m'embrouille tout ça ! bon on revois ça demain ok ? bonne nuit +++

re
alors oui si tu arrives à mon prouver que la fonction est croissante puis décroissante comme le dit ton tableau de variation je te laisse tranquile

le tableau c'est la conclusion il vient à la fin

Alors, je suis pas sur mais j'essaye quand même... si on ordonne la fonction on obtient -(3πh²)/4+(π4R²)/4 , il s'agit alors d'une fonction du second degré avec avec a<0 (a= -3πh²)/4) donc la courbe représentative de la fonction est une parabole tournée vers le bas, elle est donc croissante puis décroissante.

$\frac{\pi 4 r^2 - 3\pi h^2}{4}$

donc
$\ge 0$
⇔

$π4r24≥3πh24\frac{\pi 4 r^2}{4} \ge \frac{3 \pi h^2}{4}$
⇔
(on multiplie par $4$ )

$π4r2≥3πh2\pi 4 r^2 \ge 3 \pi h^2$
⇔
(on divise par $π\pi$ )

$r^2 \ge 3 h^2$
⇔

(on isole le $h^2$ )

$4r23≥h2\frac{4 r^2}{3} \ge h^2$

grace à l'ensemble de définition on peut dire

$23r3≥h\frac{2\sqrt{3} r}{3} \ge h$

(soit $\le \frac{2\sqrt{3} r}{3}$ )

c'est comme ça que tu dois faire je te laisse finir maintenant
faire les conclusions et faire ton tableau

ok merci, donc pour tout mettre en ordre , je calcule la dérivée, je trouve les valeur de h qui annule la derivée, j'étudie le signe de h (comme tu l'as ait en dernier) je fais mon tableau, et je conclu ?

oui tu fais ton tableau de variations et tu dis la fonction est strictement croissante avant la valeur qui annule la dérivée
elle est strictement décroissante après cette valeur donc on a à faire à un maximum

et dernière question, c'estq uoi l'ensemble de définition ?