Exercice derivation un peu compliqué...



  • Bonjour,
    J'ai un DM a rendre bientot et je bloque sur un exercice:

    Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cyclindre de hauteur h. Les deux bases du cylindre sont des cercles de la shère de rayon r.

    1. Exprimer r en fonction de R et H
      Ici pas de soucis, j'ai représenté une coupe de la situation selon la hauteur du cylindre, on retrouve donc un triangle rectangle, on applique alors le théoreme de Pythagore et on trouve r=r2h24r=\sqrt{ r^2 -\frac{h^2}{4}}

    2)a)Calculez le vlume du cylindre en fonction de h
    Ici aussi pas de probleme, d'apres la formule du volume d'un cylindre πr²h, j'ai remplacé r² par ce que j'avais dans la 1), ce qui donne :

    v=π×(r2h24)×hv=\pi\times (r^2 -\frac{h^2}{4})\times h

    B)Pour quelle valeur de h le volume est il maximal ?
    c'est ici que je bloque, je pense qu'il faut utiliser la dérivation car jusqu'à present on ne l'a pas utiliser mais je ne comprend pas comment... 😕

    Merci de votre aide 😄

    miu :j'ai réécris tes formules pour une meilleure lisibilité



  • coucou

    alors on a pour h positif bien sur

    v(h)=π×(4r2h2)×h4v(h) = \frac{\pi\times (4r^2- h^2)\times h}{4}

    v(h)=π×4r2×hπ×h34v(h) = \frac{\pi\times 4r^2\times h- \pi\times h^3}{4}

    en effet il va falloir étudier les variations de V donc calculer la dérivée

    tu sais faire ?



  • ben je pense mais je comprens pas pourquoi le tout est sur 4 ?



  • a oui mince excuse c'est 4r24 r^2
    tu reprends ton r

    je modifie le post



  • c'est un produit donc le 4 est au dénominateur
    ok ?!



  • oui mais le 4 il est pas dans le produit il est dans la parenthese...en developpant ça donne

    πR²h - (πh³)/4 ou (4πR²h-πh³)/4 non?



  • et bien ce n'est pas ça que je viens de marquer ?
    j'avais juste oublié le 4 devant le R²



  • je ne vois pas ce qui te gène en fait

    ab(1/c) = (a*b)/c



  • ah oui désolé.. donc il faut calculer la dérivée de (πx4R²xh-πh³)/4 ?
    Mais c'est quoi la dérivée de π ?



  • π\pi c'est un réel (exceptionnel mais c'est un réel quand même)
    ^^
    donc la dérivée d'un réel c'est ...



  • lol oui pas con 😆 donc la dérivée c'es : (8πRh - 3πh²) /4 ?



  • non ce n'est pas du h2h^2 que tu as comme premier terme au numératuer c'est du hh donc la dérivée c'est ...



  • mais c'est R² que j'ai dérivé dans le 1ere terme ...



  • non en plus j'ai bien spécifié c'est V(h) ce qui varie ce n'est pas R mais h !!



  • tu ne dois toucher au R² c'est un réel comme π\pi donc la dérivée est ...



  • ah oui ! merci de ta patience en tout cas (mais faut me comprendre il est tard lol) donc je reprend la dérivée c'est donc : (πx4R² - 3πh²)/4 ?



  • oui voilà très bien
    (il n'est pas tard il est tôt ^^)

    v(h)=π4r23πh24v'(h) = \frac{\pi 4 r^2 - 3\pi h^2}{4}



  • bon alors maintenant tu vas me faire le tableau de variations
    ensuite tu vas répondre a cette question

    A un extremum le coefficient directeur de la tangente vaut combien ?

    ps : je vais dormir
    @++ peut être



  • ouf ! bon ensuite je suppose qu'il faut trouver les valeur de h pour que V' s'annule ?



  • ok bonne nuit, je vais essayer. @++



  • oui
    fait ton tableau avec tes limites je sais bien que ce n'est pas forcément demandé mais bon
    si tu expliques bien pourquoi tu dois résoudre V'(h) = 0 pour répondre a l'exercice tu peux te passer du tableau



  • Bon j'y arrive pas du tout....je comprend pas comment on trouve les valeur de h pour annuler V'...jvais me coucher. Merci encore



  • bon ok ce n'est pas grave on va le faire ensemble

    v(h)=π4r23πh24v'(h) = \frac{\pi 4 r^2 - 3\pi h^2}{4}

    donc
    v(h)=0v'(h) =0

    π4r24=3πh24\frac{\pi 4 r^2}{4} = \frac{3 \pi h^2}{4}

    (on multiplie par 44)

    π4r2=3πh2\pi 4 r^2 = 3 \pi h^2

    (on divise par π\pi)

    4r2=3h24 r^2 = 3 h^2

    (on isole le h2h^2)

    4r23=h2\frac{4 r^2}{3} = h^2 maintenant il faut prendre la racine

    h est toujours positif donc tu n'as qu'une seule solution

    je te laisse finir
    dis moi si c'est ok



  • On trouve donc h s'annule pour h= (2R√3)/3 et h= -(2R√3)/3
    Mais comme h est toujours positif la seule solution est donc h= (2R√3)/3.

    V a donc pour valeur maximale pour h= (2R√3)/3. (j'éspère que c'est ça 😁 )



  • il faut que tu le prouves qu'est ce qui te dit que ce n'est pas le minimum
    (je sais bien que c'est le maximum mais je fais la prof là ^^ )

    il faut que tu fasses le tableau pas le choix pour prouver que la fonction est strictement croissante puis strictement décroissante donc que ta valeur est bien le maximum



  • ok mais je prend quoi pour la fonction? parce que avec π et R ??? 😕



  • ah non c'est bon j'ai compris ...jfais ça et je le poste 😉



  • ok
    j'attends un peu



  • voila :

    http://www.hiboox.com/vignettes/0807/e29c035e.jpg



  • c'est forcément faux
    pour avoir un maximum la fonction doit être croissante puis décroissante ...


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