Limite d'une fonction

[Sweepers]

:frowning2:
Bonsoir à tous, voici le problème sur lequel je galère depuis 2 jours (mais il faut aussi avoués que je ne suis pas très doué pour lé mathématique ).
Venons-en au sujet :

Problème 11 points
Ce problème a pour but de montrer un exemple de courbes représentatives de
deux fonctions qui sont asymptotes, puis de calculer une aire comprise entre deux
courbes.
Partie A : Détermination d’une fonction
On considère la courbe représentative C , d’une fonction g définie sur ]0 ; +∞[,
dans le plan rapporté à un repère orthogonal d’unités graphiques 2 cm en abscisse
et 1,5 cmen ordonnée.
Cette courbe est représentée sur le document fourni en annexe.
Les points d’intersection de C et de l’axe des abscisses ont pour coordonnées respectives
(1 ; 0) et (3 ; 0).

1. Soient a et b deux nombres réels tels que, pour tout réel x ∈]0 ; +∞[, g (x) = (x2 +ax +b)/x.
   En utilisant les coordonnées des points d’intersection de la courbe C avec
   l’axe des abscisses, déterminer les nombres a et b.
2. Montrer que g (x) peut s’écrire : g (x) = x −4+(3/x).

Partie B : Étude d’une fonction auxiliaire
Soit la fonction h définie sur ]0 ; +∞[ par : h(x) = x2 +1−2lnx.

1. Étudier les variations de h et dresser son tableau de variations.
2. Calculer h(1). En déduire que h(x) est strictement positif pour tout nombre
   réel x de ]0 ; +∞[.

Partie C :Étude de fonction
On définit la fonction f par :
f (x) = x −4+ (1+2lnx)/x
sur l’intervalle ]0 ; +∞[. On appellera Γ la courbe représentative de f dans le repère
orthogonal du document 1.

1. Calculer la limite de f (x) lorsque x tend vers zéro. En déduire que Γ admet
   une asymptote que l’on précisera.
2. Calculer la limite de f en +∞.
3. Pour tout x de ]0 ; +∞[ montrer que f ‘(x) =h(x)/x2 . En déduire le tableau de
   variations de f .
4. Courbes asymptotes. On rappelle que g (x) = x −4+(3/x).
   a. Calculer la limite en +∞ de f (x)− g (x). Interpréter graphiquement ce
   résultat.
   b. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point d’intersection des
   courbes Γ et C .
   c. Sur ]0 ; +∞[ déterminer la position de la courbe Γ par rapport à la courbe
   C .
5. Construire la courbe Γ sur le document fourni en annexe et que l’on rendra
   avec la copie.

PartieD : Calcul d’une aire comprise entre deux courbes

1. Montrer que f (x)−g (x) admet pour primitive sur ]0 ; +∞[ la fonction K définie
   par :
   K(x) = (lnx −1)2.
2. Sur le document fourni en annexe, hachurer l’aire comprise entre les deux
   courbes et les droites d’équations x = e et x = e2.
3. Calculer la valeur de cette aire en cm2.

Pour visualiser la courbe, voici le lien internet du document : http://www.ac-bordeaux.fr/APMEP/Fichier%20annales/dossier%20STI/dossier%202005/STIMecaniqueFrancesept2004.pdf

Je remercie d’avance quiconque puisse m’aidé !

PS : Même si vous pouvez m'aider pour une partie se serait genial!

[Zorro]

Bonjour et bienvenue ici

Et dans tout ceci tu as quand même bien dû réussi à faire quelque chose !

On ne va pas tout faire à ta place ! Il faut que tu nous dises que qui "coince" et pourquoi.

[Sweepers]

Bonsoir et merci pour l'accueille,
Je coince dès la première question je ne vois pas ce qu'il faut faire pour déterminer les nombres « a » et « b ». Pour la suite je pense que je pourrais peut être m’en sortir si on m’avançait.

[Zorro]

Bon bin on essayer de comprendre ce que signifie mathématiquement parlant une représentation graphique d'une fonction !

Soit $C_f$ la courbe représentant une fonction f :
si un point M appartient à $C_f$ cela signifie que si x est l'abscisse de M quelle est l'ordonnée de M.

Regarde sur la courbe donnée s'il n'y a pas des points dont tu peux connaitre les coordonnées et dis nous ce que cela te permet de conclure

[Sweepers]

Oui je crois avoir compris, merci encore pour l’évidence !
Je vais essayer d’avancer le plus loin possible…
Encore merci ! Bonne soirée !

[Sweepers]

Bonsoir a tous, j'ai encore un petit problème au sujet de problème Partie C, 3/ ou je déduit que f'$(x)=(x$^2$+2lnx)/x^2$ . On me demande de déduire la tableau de variation mais je ne vois pa du tout comment faire .
Merci

[miumiu]

salut
j'ai un peu la flemme de lire tout ton post lol
mais si ta question n'a pas forcément à voir avec ce qui précède alors je peux esssayer de t'aider ^^
je suppose que l'ensemble de définition c'est ]0 ; +∞[

le numérateur et le dénominateur sont tous les deux strictement positifs donc la fonction f est strictement croissante

[Sweepers]

Salut cosmos, merci bien pour ton aide sympatique!
Bonne soirée!

[miumiu]

c'est miumiu
c'est cool d'avoir des personnes sympatiques ^^

*pas bien le flood je sais lol *

[elhassan]

le tableau de variation c'est garce a f'(x) que on peut le trouver
je vois que f'(x)=(x²+2lnx)/x²
il faut cherche la ou f'(x)=0 c'est a dire que x²+2ln(x)=0
en plus il faut que x>0
ainsi de suite

[miumiu]

coucou
alors en fait j'avoue je n'ai pas été top sur ce coup là j'ai regardé ta fonction à la calculette et non la dérivée que tu me proposais c'est pour ça que j'ai été vite et que j'ai dit une bétise :rolling_eyes:
ta fonction est strictement croissante
donc la dérivée strictement positive mais ce n'est pas la bonne dérivée

pour x de ]0 ; +∞[
f (x) = x −4+ (1+2lnx)/x
la fonction est continue et dérivable sur le même ensemble de définition

$f^{\prime }(x)=1+\frac{(\frac{2}{x})x-(1+2\ln x)}{x^2}$

$f^{\prime }(x)=1+\frac{2-1-2\ln x}{x^2}$

$f^{\prime }(x)=1+\frac{1-2\ln x}{x^2}$

voilà et maintenant on peut dire que la dérivée est strictement positive car
la limite de cette dérivée en +∞ vaut 1 et en $0^{+}$ elle vaut +∞
(si tu regardes ton cours tu ne devrais pas avoir de mal à le démontrer)

donc elle ne s'annule jamais si l'étude des limites de la dérivée te gène tu peux essayer de prendre la dérivée seconde
parce qu'étudier le signe direct me semble un peu compliqué

encore désolée
++

[elhassan]

la dérivée que j'ai donnée je l'ai pas checher enfaite je l'ai prise du bas
c'est Sweepers qui la donnée