Etudier le volume d'un cylindre inscrit dans une sphère

[rose022]

Bonjour,
J'ai un exercice sur les dérivées, j'ai fait quelques trucs mais je voudrais savoir si je pars dans la bonne direction. Mais à mon avis, c'est plus compliqué que ça en a l'air.

Pour aménager un parc, on dispose de sphères de rayon 6dm. A l'intérieur on veut placer des poubelles de forme cylindrique. On suppose qu'une poubelle a pour hauteur 2h et pour rayon r ( en dm). On cherche à déterminer la hauteur du cylindre pour obtenir une poubelle de volume maximal.
1)a) Exprimer r en fontion de h.
b) Démontrer que le volume V du cylindre en $d{m}^3$ peut s'écrire sous la forme V(h) = 2$pi$ ( $-h^3$ + 36h).
2)a) Déterminer la hauteur du cylindre pour laquelle le volume de la poubelle est maximal.
b) Déterminer la valeur exacte de ce volume en $d{m}^3$.
c) Donner l'arrondi à l'unité de ce volume.

J'ai pensé à faire:
1)a) Aire du cylindre, mais il y a peut-être un rapport avec l'aire de la sphère ou son volume non ?
b) Le volume d'un cylindre c'est : $pi$R²h donc normalement ca devrait faire $pi$r²2h mais ce n'est pas la réponse donnée.
2)a) Il faut faire la fonction dérivée du volume mais elle est bizarre:
V(h) = 2$pi$ $(-h^3$ + 36h) = $-2$pi$h^3$ + 2$pi$36h
V'(h)= -2$pi$3h² + 2$pi$36 = -6$pi$h² + 72$pi$
Et là je ne m'en sors plus, mais j'ai surment faux!
Donc pour les prochaines questions, je suis bloquée.
Merci de votre aide.

[miumiu]

coucou
pour la 1) a il faut que tu penses a pythagore il faut que tu traces le centre de la sphère ensuites tu traces un rayon

est ce que tu vois ce que je veux dire ?!
sinon je te ferai un dessin

[rose022]

coucou,
oui je vois ce que tu veux dire, mais je ne vois pas comment je peux faire.

[miumiu]

[

](http://www.imagup.com)
et maintenant tu vois ?

[rose022]

h² + r² = 36
r² = 36 - h²
r = √36 - h²
r = 6- h
C'est ça ?

[miumiu]

rose022
h² + r² = 36
r² = 36 - h²
r = √36 - h²
r = 6- h
C'est ça ?

$r=\sqrt{36-h^2}$

mais je te conseille de rester à la forme
r² = 36 - h²

[rose022]

ah oui désolée !
merci.

[rose022]

Merci mais pour le volume j'ai un problème, parce que le volume d'un cylindre c'est $pi$R²h donc ici ça fait $pi$(36-h²) h = (36h - $h^3$) * $pi$ et non $2$pi$(-h^3$+36h) !!!! Et pour la suite je suis bloquée, auriez vous une idée ??

[rose022]

C'est bon aussi j'ai trouvé sauf que j'ai un petit problème, comment je fais pour passer de V(h) = $2$pi$(36h-h^3$) à V'(h)=6$pi$(12-h²). Je suis sûre de la réponse mais je ne sais pas comment y arriver.
Merci

[miumiu]

tu veux la dérivée de
$v(h)=2\pi (36h-h^3)$ ?

ça fait
$v(h)=72\pi h-2\pi h^3$
donc

$v^{\prime }(h)=72\pi -6\pi h^2$
donc ...