Un cylindre inscrit dans une sphère



  • Bonjour,
    J'ai un exercice sur les dérivées, j'ai fait quelques trucs mais je voudrais savoir si je pars dans la bonne direction. Mais à mon avis, c'est plus compliqué que ça en a l'air.

    Pour aménager un parc, on dispose de sphères de rayon 6dm. A l'intérieur on veut placer des poubelles de forme cylindrique. On suppose qu'une poubelle a pour hauteur 2h et pour rayon r ( en dm). On cherche à déterminer la hauteur du cylindre pour obtenir une poubelle de volume maximal.
    1)a) Exprimer r en fontion de h.
    b) Démontrer que le volume V du cylindre en dm3dm^3 peut s'écrire sous la forme V(h) = 2pipi ( h3-h^3 + 36h).
    2)a) Déterminer la hauteur du cylindre pour laquelle le volume de la poubelle est maximal.
    b) Déterminer la valeur exacte de ce volume en dm3dm^3.
    c) Donner l'arrondi à l'unité de ce volume.

    J'ai pensé à faire:
    1)a) Aire du cylindre, mais il y a peut-être un rapport avec l'aire de la sphère ou son volume non ?
    b) Le volume d'un cylindre c'est : pipiR²h donc normalement ca devrait faire pipir²2h mais ce n'est pas la réponse donnée.
    2)a) Il faut faire la fonction dérivée du volume mais elle est bizarre:
    V(h) = 2pipi (h3(-h^3 + 36h) = 2-2pih3h^3 + 2pipi36h
    V'(h)= -2pipi3h² + 2pipi36 = -6pipih² + 72pipi
    Et là je ne m'en sors plus, mais j'ai surment faux!
    Donc pour les prochaines questions, je suis bloquée.
    Merci de votre aide.

    http://www.hiboox.com/vignettes/0907/e90bdf84.jpg



  • coucou
    pour la 1) a il faut que tu penses a pythagore il faut que tu traces le centre de la sphère ensuites tu traces un rayon

    est ce que tu vois ce que je veux dire ?!
    sinon je te ferai un dessin



  • coucou,
    oui je vois ce que tu veux dire, mais je ne vois pas comment je peux faire.





  • h² + r² = 36
    r² = 36 - h²
    r = √36 - h²
    r = 6- h
    C'est ça ?



  • rose022
    h² + r² = 36
    r² = 36 - h²
    r = √36 - h²
    r = 6- h 😲
    C'est ça ?

    r=36h2r = \sqrt{36-h^2}

    mais je te conseille de rester à la forme
    r² = 36 - h²



  • ah oui désolée !
    merci.



  • Merci mais pour le volume j'ai un problème, parce que le volume d'un cylindre c'est pipiR²h donc ici ça fait pipi(36-h²) h = (36h - h3h^3) * pipi et non 22pi(h3(-h^3+36h) !!!! Et pour la suite je suis bloquée, auriez vous une idée ??



  • C'est bon aussi j'ai trouvé sauf que j'ai un petit problème, comment je fais pour passer de V(h) = 22pi(36hh3(36h-h^3) à V'(h)=6pipi(12-h²). Je suis sûre de la réponse mais je ne sais pas comment y arriver.
    Merci



  • tu veux la dérivée de
    v(h)=2π(36hh3)v(h) = 2\pi (36h-h^3) ?

    ça fait
    v(h)=72πh2πh3v(h) = 72\pi h - 2\pi h^3
    donc

    v(h)=72π6πh2v'(h) = 72\pi - 6\pi h^2
    donc ...


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