Maximum minimum locaux (ex DM sur les limites.)

Bonjour
Je profite de ce sujet pour poser ma propre question.
C'est un Devoir Maison et je bute sur les démonstrations asymptotiques:
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=x³+px+q ou p et q sont deux nombres donnés.

a) Montrer que, si p ≥ 0 , la fonction f n'admet ni minimum,ni maximum.

b) Montrer que, si p < 0 , la fonction f admet un minimum local m et un maximum local M.

Devant ce problème je ne sais meme pas par ou commencer.
Un minimum LOCAL,c'est comme un minimum..classique ?
Quel serait le premier calcul a effectuer pour la démonstration?
Merci d'avance.

miumiu : ce n'est pas en mettant tout ton topic en rouge que tu auras des réponses plus vite mdr j'ai un peu espacé par contre

*Intervention de Zorro = modification du titre parce qu'ici il ne s'agit pas de * 1ereS. Devoir Maison sur les limites. mais de maximum et minimum locaux ! Merci de bien choisir ton titre la prochaine fois

coucou
tu as fait la question 1 ) ?!
définition

On dit qu'une fonction f définie sur un ensemble E à valeurs dans R admet un maximum en aE si, pour tout x de E, on a : f(x) ≤ f(a). On parle alors aussi parfois de maximum global, et on dit que f(a) est le maximum de f.
Si E est muni d'une distance, ou d'une norme, on dit que f admet un maximum local, ou maximum relatif en a s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout x de V, on a f(x) ≤ f(a).

dans un cas on s'interesse à tout l'intervalle dans l'autre cas à une partie de l'intervalle

:frowning2: non,je bloque a la premiere question.
Je vois pas par ou commencer pour démontrer.

quand tu étudies une fonction qu'est ce que tu fais ?
dérivée , tableau de variations ...

EN dérivant la fonction on trouve 3x²+p.
la recherche des 0 nous donne 0.
Donc le tableau de variation n'a aucune utilité puisqu'on nous demande de trouver la limite si p≥0.
Alors après on cherche la limite de 3x² et on trouve +∞.
C'est juste ça ou c'est juste un tissu de conneries? :$

la recherche des 0 nous donne 0.
j'adore c'est de la pure phrase ça ^^

si p ≥ 0

alors f'(x) est toujours positif donc la fonction strictement croissante donc il n'y a pas de maximum ou de minimum sur R

d'accord,j'te remercie.
En ce qui concerne la deuxième question je fais pareil?
On me demande après de trouver le produit mM en fonction de p et q,donc je trouve m et M comment? lol
Les dérivés j'ai jamais rien compris t'façon

pour la deuxième question tu dois étudier le signe de la dérivée oui et trouver les deux extrema
on verra la suite après
chaque chose en son temps ^^

J'veux bien trouver les deux extrema,mais on a aucune valeur,alors comment faire?
Le tableau de variations ne donne rien.

lol
tu connais le signe de p c'est principal
f(x)=x³+px+q

p ≤ 0

la fonction est continue et dérivable sur R

f'(x) = 3x² + p
(
on va faire en même temps l'étude du signe et la détermination des extrema
tu es prèt ? lol

f'(x) ≥ 0
⇔

3x² + p ≥ 0
⇔

3x² ≥ -p
⇔

x² ≥ $−p3\frac{-p}{3}$

(p est négatif donc c'est bon)
⇔

x ≥ $−p3\sqrt{\frac{-p}{3}}$

ou x ≤ $\sqrt{\frac{-p}{3}}$

maitenant tu me fais ton tableau et tu me dis lequel des deux est l'abscisse du maximum

Oula...mes résultats m'inquietent^^
Selon le tableu de signes ,le maximum serait -√-p÷3 ?
Mais on m'a toujours dit que il était interdit d'avoir des négatifs sous la racine?

je me suis mal exprimée
tu me dis lequel est l'abscisse du maximum et lequel est l'abscisse du minimum
p est négatif donc -p est positif

donc c'est bon c'est bien ça l'abcisse du maximum c'est pour
-√(-p÷3)

d'accord donc j'ai l'abcisse du maximum.
et pour trouver M,je dois multiplier cette meme abcisse par f(x) ?
Ou bien remplacer p par ce qu'on vient de trouver?

dans le dernier cas,ça nous avancera a rien car on trouverait

f(x)= x³-√(-p÷3)x+q.

Pour tout te dire je suis un peu pomé la^^

tu n'as pas compris ce n'est pas le p qu'il faut remplacer c'est le x !! lol
tu as un point d'abscisse -√(-p÷3) et tu cherches son image par f
donc tu fais

f(-√(-p÷3)) = ...

Euh j'trouve quelque chose comme :((√-12p³)÷9)+q,et ceci pour le maximal.

Personnellement j'y crois pas trop aux vues de la réponse^^
et pour le minimum je suis toujours pomé lol.
Tu pourrais me dire ce que tu trouves s'il te plait?J'commence a etre vraiment pomé.
Et ensuite ,toujours calculer ce produit mM en fonction de p et q me semble...compliqué^^

s'il vous plait,j'aies beau essayer encore,je ne trouve toujours pas...

La question est

Citation
b)Montrer que , si p est négatif , la fonction f admet un minimum local m et un maximum local M

Tu as montré que pour $x1,=,−p3x_1,=,\sqrt{\frac{-p}{3}}$

et $x2,=,−−p3x_2,=,-\sqrt{\frac{-p}{3}}$ tu as un minimum et un maximum

Pour la rédaction j'écrirais que les coordonnées de ces points sont

( $x_1$ ; $f(x_1$ ) ) et ( $x_2$ ; $f(x_2$ ) )

Tu as bien dans le cas où p est négatif avec les $x_1$ et $x_2$ définis dans ma réponse précédente

$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&x_2&&x_1&&+\infty \ \hline {f'(x)}& &+&0&-&0&+& \ \hline \ &&&f(x_2)&&&&+\infty \ {f}&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\ &-\infty &&&&f(x_1)&\end{tabular}$

Donc un maximum local M $x_2$ ; $f(x_2$ ) )

et un minimum local m $x_1$ ; $f(x_1$ ) )

Effectivement.c'est fou comme sa parait simple maintenant que tu le dis^^
J'te remercie beaucoup parce que je coinçais sur cette question et ça entravait la progression sur ce devoir maison.

Et donc pour finir sur cette question,on me demande de calculer le produit mM en fonction de p et q,ce qui au final donne -p²/9?

Ah je viens de voir que dans l'énoncé m et M ne sont pas des points mais

m = $f(x_1$ ) et M = $f(x_2$ )

En faisant les calculs je trouve mM = $q^2$ + $4/27)p^3$

MAis il se peut que je fasse des erreurs de calcul !

EN refesant et refesan les calculs je trouve autre chose,a savoir

p(-12p + 18q√-3p - 54pq)
------------------------------- +q²
81

Au vues de cette réponse,j'dois m'etre trompé.
Peut etre que mes f(x1) et f(x2) sont faux?
J'ai f(x1)= ((2p√-p)÷3√3)+q
et f(x2)= ((√-12p³)÷9)+q

As-tu trouvé les memes?

en effet je ne touve pas comme toi pour $f(x_2$ )

et les 2 miens se ressemblent avec un - devant pour $f(x_{2)}$ )

Comment calcules-tu

$(−−p3)3(-\sqrt{\frac{-p}{3}})^3$

ah non je rectifie^^.
Désolé grosse erreur de calcul.
pour f(x2) j'trouve maintenant √((-16p³)/27) + q

En ce qui concerne le calcul que tu m'as demandé,
Moi j'le calcule et trouve (p√-p)/3√3.

Bon ton calcul du cube est bon

je trouve

$f(x2),=,q,−,,2p,3,−p3f(x_2),=,q,-,\frac{,2p,}{3},\sqrt{\frac{-p}{3}}$

et

$f(x1),=,q,+,,2p,3,−p3f(x_1),=,q, +,\frac{,2p,}{3},\sqrt{\frac{-p}{3}}$

Mais je ne suis pas à l'abri d'une erreur de calcul !

J'ai refait les calculs et je trouve effectiveemnt la meme chose que toi.
J'te remercie beaucoup,j'ai enfin la premiere partie de l'exercice que j'aurais jamais trouvé seul !!
Si j'ai une autre question concernant cet exercice et toujours sur les limites,j'les pose ici ou je fais un nouveau sujet?

On suppose désormais que p est strictement négatif.
a) Montrer, en s'appuyant sur des considérations graphiques,que:

⇔ Si m < M < 0 ou si 0 < M < m , alors l'equation f(x) = 0 admet une seule solution.
⇔ Si m=0 ou M=0 , alors cette équation admet 2 solutions.
⇔ Si m < 0 < M , alors cette équation admet exactement 3 solutions dans R.

b) Déduire des questions précédentes,que l'equation x³ + px + q = 0 admet trois solutions distinctes dans R si et seulement si 4p³ + 27q² < 0

Alors j'ai répondu a la premiere question en regardant la représentation graphique de la fonction a partir du tableau de variations de la dérivée.
Après pour la rédaction j'me démerderais^^

ce qui est plus problématique , c'est la seconde question.J'imagine bien qu'il y a un rapport entre la condition 4p³ + 27q² < 0
et la multiplications des extréma recherchés auparavant (mM = q² + (4/27)p³) , mais j'arrive pas a trouver ce rapport...

*Intervention de Zorro = ajout d'espaces dans les expressions pour les rendre + lisibles *

Je n'aime pas tes symboles ⇔ en début des lignes

Citation
⇔ Si m < M < 0 ou si 0 < M < m , alors l'equation f(x) = 0 admet une seule solution.
⇔ Si m=0 ou M=0 , alors cette équation admet 2 solutions.
⇔ Si m < 0 < M , alors cette équation admet exactement 3 solutions dans R.

Ce symbole a une signification en maths il signifie "si et seulement si" donc il faut absolument qu'il y ait quelque chose devant ⇔ pour que la phrase ait un sens

Je suppose que tu a voulu faire un "style" mais dans ce cas là mets un symbole neutre dans ce genre de phrase (*) ou rien c'est encore mieux !

Pour la réponse, il faut se servir du tableau de variation et bien regarder !

Oups,je savais pas désolé lool.

Pour la premiere question j'y aies répondu,j'te remercie.
par contre pour la seconde question j'ai un peu plus de mal,comment relier la multiplications des extréma a une éqation telle que 4p³+27q²?

en effet avec 4p³ + 27q² < 0 on a confirmation que le produit mM est bien ce qu'on trouvé !

Essaye de réfléchir sur le signe de 4p³ + 27q² à mettre en relation avec le signe de mM

et les phrases

Si m < M < 0 ou si 0 < M < m , alors l'equation f(x) = 0 admet une seule solution.

Si m=0 ou M=0 , alors cette équation admet 2 solutions.

Si m < 0 < M , alors cette équation admet exactement 3 solutions dans R.

Ben puisqu'on nous demande de trouver 3 solutions,alors sa veut dire que m<0<M,c'est a dire ce que l'on a démontré précedemment.
le signe de 4p³+27q² se doit d'etre négatif,et étant donné que p est srictement négatif,c'est vérifié sur la courbe...
Mais je vois toujours pas ou il faut en venir...

coucou me revoilà ^^
Je ne sais pas si tu as bien compris quand on dit que
4p³ + 27q² < 0
⇔
mM < 0

en effet

mM < 0
⇔

q²+ $4/27)p^3$ < 0
on multiplie par 27
⇔

27q² $4p^3$ < 0

ensuite on a
x³ + px + q = 0 admet trois solutions distinctes dans R si m < 0 < M (cf question d'avant )

donc le produit mM est négatif
alors on a bien 27q² $4p^3$ < 0
maintenant il faut le faire dans l'autre sens

on a
27q² $4p^3$ < 0 ...
c'est ainsi que tu auras l'équivalence

Un grand merci a toi miumiu(et aussi a zorro;),le DM est presque fini,nikel.
Pour la derniere question j'vous demanderais seulement une vérification svp.
On me demande de trouver une équation du 3 eme degré ne comportant pas de terme en X².
pour cela on m'indique de faire un changement d'inconnue,transformant x en (X-b/3).
je rapelle que l'équation initiale est x³+bx²+cx+d=0.
je trouve une équation avec des b²,c'est juste ou pas?
et ensuite on me demande de trouver le nombre de réponses possible a des équations telles que :x³-x²+2x-7=0.
Merci d'avance :evil: