Repérage cartésien de l'espace



  • Bonjour, j'ai deux exercices où j'aurais besoin de conseils et d'aide...

    Le premier:
    Soit la sphère S de centre A(2;-1;3) et de rayon 3. M(x;y;z) est un point de l'espace

    1)exprimer AM² en fonction de x; y et z.

    1. Déterminer une équation de S

    2. De cette équation, déduire les coordonnées des points J et K intersections de S et de l'axe des cotes.

    Pour les deux premières questions c'est bon. cela donne:

    AM²=R² <=> AM²=9

    d'où (x-2)² + (y+1)² + (z-3)² = 9 <=> x² - 4x + 4 + y² + 2y + 1 + z² - 6z + 9 - 9 = 0

    <=> x² + y² + z² - 4x + 2y - 6z + 5 = 0

    Mais ensuite, pour la question trois, si J et K sont les intersections entre S et l'axe des cotes, il faudrait un système. Mais je ne sais pas vraiment comment le construire... les coordonnées de J et K seraient par exemple (x';y';z') et (u;v;w) mais ayant une intersection avec l'axe des cotes z' et w deviennent z?

    Ensuite, le second exercice:

    ABCDEFGH est un cube. Soit (A, vecteur AB, vecteur AC, vecteur AD) un repère orthonormal de l'espace.
    K est le point tel que vecteur FK= 3/4 vecteur FG et R est le point d'intersection des droites (EG) et (KH).

    1. Démontrer que (E; vecteur AB; vecteur AD) est un repère de plan (EFH)

    => Ici, si je dis simplement qu'étant un cube, que dans le plan (EFH), EF = AB et EH = AD, est-ce que ça suffit?

    1. Quelles sont les coordonnées du point R dans le repère (E;vecteur AB;vecteur AD)? En déduire les coordonnées de R dans le repère (A, vecteur AB, vecteur AC, vecteur AD).

    =>Ici, comme R est le point d'intersection, on peut dire que ERG ou KRH sont alignés. Donc, après, en prenant le vecteur EG et le vecteur ER et en faisant EG = kER, est-ce qu'on peut trouver les coordonnées de R?

    Après pour le second repère, je pense qu'il faut procéder pareil, non?

    1. I est le milieu de [CD] et J celui de [CG]. Les droites (GI) et (JH) se coupent en S. déterminer les coordonnées de S dans le repère (D; vecteur AB; vecteur AE) du plan (CDG), puis dans le repère A, vecteur AB, vecteur AC, vecteur AD).
      =>Là, c'est la même méthode que dans la question 2.....

    2. en déduire la longueur RS
      => Là, c'est simple, il faut appliquer la formule avec les coordonnées de R et S...

    Voilà, c'est surtout pour la dernière question de l'exercice 1 et la question 2 de l'exercice 2 (la 3 étant identique) que j'aurai besoin de conseil....

    Merci d'avance!

    *Intervention de Zorro = j'ai un peu aéré ce pavet assez indigeste ; la prochaine fois pense à sauter des lignes .. c'est plus agréable à lire. Merci d'avance *



  • Bonjour,

    Pour trouver les coordonnées des points J et K intersections de S et de l'axe des cotes, il faut se poser la question : quelle est la caractéristique des points de l'axe des cotes ?

    Cela ressemble à "dans le plan quelle est la caractéristique des point de l'axe des abscisses ?"
    ou "dans le plan quelle est la caractéristique des point de l'axe des ordonnées ?"

    Tu nous dit ce que cela t'inpire comme réflexion !



  • D'accord...

    Alors, si le point est situé sur l'axe des cotes, son abscisses et son ordonnée sont nulles...

    Les points K et J sont à l'intersection de l'axe des cotes et de la sphère S, auraient donc des coordonnées du style (0;0;z).

    Si je remplace dans l'équation du cercle x et y par 0, il me reste z²-6z+5=0.
    c'est ça?



  • Oui c'est cela. et pour trouver la ou les coordonnées des points concernés il faut résoudre cette équation en z



  • d'accord.

    Je peux utiliser le secon degré avec z²-6z+5=0, non?
    ce qui ferait un discriminant de 16, d'où deux solutions.

    Donc, z1=6+4/2 donc z1=5
    puis z2=6-4/2 donc z2=1
    les coordonnées seraient alors pour J(0;0;5) et K(0;0;1)
    C'est bon?



  • Oui c'est bon !



  • Merci beaucoup^^

    Il me reste à régler la question 2 du deuxième exercice, et tout sera terminé^^
    Je vais déjà recopier au propre le premier.



  • Pour démontrer que (E; AB ^\rightarrow; AD^\rightarrow) est un repère de plan (EFH) , il faut dire que les vecteurs AB ^\rightarrow et AD^\rightarrow ne sont pas colinéaires (voir la définition d'un repère !) et qu'il appartiennent bien au plan en question

    Que trouves-tu comme coordonnées de R dans ce repère ? ( on est dans un plan donc tu peux te faire un dessin de ce plan uniquement en plaçant R où il faut et utiliser les bons vieux théorèmes de géométrie qui marchent à tous les coups )



  • d'accord pour le repère.
    Mais pour les coordonnées du point R, je ne suis pas sûre du tout...
    J'avais essayé avec la colinéarité puisque les points H,R,K sont alignés et donc ça donnait HR^\rightarrow=kHK^\rightarrow, mais en fait c'est k dont je ne suis pas sûre...
    Ou bien, il y a bien ER^\rightarrow=xAB^\rightarrow+yAD^\rightarrow, mais là non plus, je ne sais pas si cela peut fonctionner...

    Sinon comme théorème, j'ai remarqué du pythagore et du Thales, mais, pour Pythagore, j'ai souvent deux côtés inconnus puisque je ne connais pas R, et pour Thalès, j'ai également le même problème....
    Donc, je ne sais pas si cela peut fonctionner...



  • je viens d eme rendre compte d'une erreur dans l'énoncé de l'exercice 2.... le repère (A, vecteur AB, vecteur AC, vecteur AD) est en fait le repère (A, vecteur AB, vecteur AD, vecteur AE)...

    Par contre, en essayant d'utiliser thalès, je voudrais savoir si en utilisant les distances et en exprimant ER en EG-RG, si c'était possible d'avoir les coordonnées de R?
    Avec Thalès, cela donnerait en fait RE/RG=EH/KG...
    Mais comme RE et RG sont inconnus donc je ne suis pas certaine...

    autrement, je penserais plus à utiliser vecteur ER= x vecteur AB +y vecteur AD.
    Là, ca ferait ER= EB+BR
    ER=AB+BR
    ER=AB+BK+KR
    ER=AB+3/4AD+KR
    .... Mais en fait, quand je continue comme ça, je tourne en rond, donc je dois avoir un problème de relation, mais je n'arrive pas à mettre le doigte dessus...



  • coucou
    Je ne comprends pas tu as le repère orthonormé
    (a;ab;ad;ae)(a; \vec{ab}; \vec{ad}; \vec{ae} )

    Pourquoi ne commences tu pas par donner les coordonnées des points qui vont t'interesser et puis tu dois savoir que

    ab=(xbxa)2+(ybya)2)+(zbza)2ab = \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2)+ (z_b-z_a)^2}


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