Fonctions et aires

Coucou tout le monde, pouvez-vous m'aider pour ce grand exercice, je suis perdue. Merci beaucoup. :frowning2:

Enoncé :

Soit k un nombre réel. On considère la fonction $f_k$ définie sur [0,1] par:
$f_k$ (x)=x(ln x)²+kx si x > 0 et $f_k$ (0)=0

On note $C_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans le plan rapporté au repère orthonormal (O,i,j) (unité graphique 10 cm)

Partie I Etude des fonctions $f_k$

A) dans cette question k=0, étude et représentation de $f_0$

Signe de la dérivée
a) calculer la dérivée f' $_0$ de $f_0$ sur ]0,1] et montrer que f' $_0$ (x) peut s'écrire sous la forme f' $_0$ (x)=(ln x)(ln x+2)
b) déterminer les solutions de l'équation f' $_0$ (x)=0 sur ]0,1]
c) étudier le signe de f' $_0$ (x) sur ]0,1]
étude à l'origine
a) déterminer la limite de $\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{ln u}{\sqrt{u}$ puis de $lim⁡x→+∞(lnu)2u\lim _{x \rightarrow {+} \infty}\frac{(ln u)^2}{u}$ .

b) en déduire que $lim⁡x→0x(lnx)2=0\lim _{x \rightarrow 0}x(lnx)^2 = 0$ puis que $f_0$ est continue en 0.

c) déterminer la limite de $lim⁡x→0f0(x)x\lim _{x \rightarrow 0}\frac{f_0(x)}{x}$ , en déduire la tangente en O à la courbe $C_0$ .

Tracé de la courbe $C_0$

a) dresser le tableau des variations de $f_0$ .

b) tracer la courbe $C_0$

B) *Etude de $f_k$ *

dérivée de $f_k$

a) calculer f' $_k$ (x) sur ]0,1].

b) Soit $A_k$ le point de $C_k$ d'abscisse 1, montrer que la tangente $T_k$ à $C_k$ au point $A_k$ est la droite $OA_k$ )

Etude à l'origine
a) établir que $f_k$ est continue en 0.

b) déterminer la tangente à $C_k$ en O. On ne demande pas d'étudier les variations de $f_k$ .

C) Etude et représentation de $f_1$ et $f_{1/2}$

etude de $f_1$ et tracé de $C_1$

a) prouver que pour tout x∈]0,1], f' $_1$ (x)=(ln x +1)²

b) déterminer la position relative des courbes $C_0$ et $C_1$

c) établir le tableau de variation de f' $_1$ et tracer $C_1$ sur le même graphique que $C_0$ en précisant le coefficient directeur de la tangente $T_1$ à $C_1$ au point $A_1$ .

2)*Etude de $f_{1/2}$ et tracé de $C_{1/2}$ *

a) prouver que pour tout x∈[0,1], $f12(x)=f0(x)+f1(x)2f_{\frac{1}{2}}(x)= \frac{f_0(x)+f_1(x)}{2}$

b) en déduire une construction de $C_{1/2}$ à partir de $C_0$ et $C_1$ et tracer $C_{1/2}$ sur le même graphique que $C_0$ et $C_1$ en précisant la tangente $T_{1/2}$ à $C_{1/2}$ au point $A_{1/2}$ .

Partie II partage du carré OILJ en quatre parties de même aire

Soit a(alpha) un nombre réel tel que 0 < a ≤ 1

Calcul d'une intégrale. On pose $\int_a^1 x\ln(x)^2 dx$

a) prouver en effectuant une intégration par parties $\frac{a^2}{2} \ln(a)^2 - \int_a^1 x\ln(x) dx$

b) en effectuant à nouveau une intégration par parties prouver $\frac{a^2}{2} \ln(a)^2 + \frac{a^2}{2} \ln(a) + \frac{1}{4} - \frac{a^2}{4}$

c) déterminer la limite de l(a) lorsque a tend vers 0

Calcul d'aires
a) $sk(a)=∫a1fk(x)dxs_k(a) = \int_a^1 f_k(x) dx$
Exprimer $S_k$ (a) en fonction de a. En déduire la limite $S_k$ de $S_k$ (a) quand a tend vers 0
On admettra que cette limite représente l'aire (exprimée en unités d'aire) du domaine plan limité par la courbe $C_k$ , l'axe (Ox) et la droite d'équation x=1

b) en déduire que les courbes $C_0$ , $C_{1/2}$ et $C_1$ partagent le carré OILJ en quatre parties de même aire.

Ce que j'ai fait:frowning2:

Je n'ai pas réussi à faire grand chose. La partie II, je n'ai réussi à rien faire, je ne comprends pas encore très bien les intégrales.
Sinon, voici ce que j'ai fait pour la partie I:

A)

1)a) $f_0$ (x)=x(ln x)² donc f' $_0$ (x)=2ln x + (ln x)² et f' $_0$ (x)=(ln x)(ln x +2)=2ln x + (ln x)² CQFD
b) f' $_0$ (x)=(ln x)(ln x +2) on a donc soit ln x =0 d'où x=1 soit ln x +2=0 d'où x = e^(-2)=0.1353
c)Si on prend x=0.5, on remarque que f' $_0$ (x)=-0.6 d'où la conclusion suivante: f' $_0$ (x) positive de 0 à e^(-2) et négative sur e^(-2) à 1

2)a)lim ln u/√(u) = 0 et lim ln u²/u=0
b)?
c)?

a+b)?

B)

1)a) f' $_k$ (x)=2ln x + (ln x)² +k
b)?

2)a+b)?

C)

1)a) f' $_1$ (x)=(ln x +1)²=2ln x + (ln x)² +1 CQFD
b)?
c)?

2)a) $f_{1/2}$ =[x(ln x)²+x(ln x)²+x]/2 = [2x(ln x)² +x]/2 = x(ln x)²+x/2 CQFD
b)?

Je sais c'est très peu mais bon, j'espère que vous voudrez quand même bien m'aider. Merci d'avance. :rolling_eyes:

Edit J-C : mise des indices et du LaTeX à la place des liens.

miumiu : j'ai continué dans la lancée de Jeet...

coucou
Pour la partie I la question 1) c . je ne suis pas d'accord pour le prouver tu ne dois pas prendre un exemple
pour x ∈ ]0 ; 1 ] on a ln x ...
pour x ∈ ]0 ; 1 ] on a ln x + 2 ...

*ps je pense que l'on peut remercier Jeet Chris pour le remaniement de ton post *

ok pour la 1c et merci à Jeet Chris d'avoir modifié le post

ok
Alors tu as su calculer les limites c'est très bien.
Pour la 2/b. Je penserais a un changement de variable
poses X = $1x\frac{1}{x}$

et n'oublie pas que $ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$

je crois que je vais te sembler un peu bête mais, je n'y arrive pas :frowning2:

Salut.

Pour la 2.b) :

On a vu en 2.a) que $lim⁡u→+∞ln⁡(u)2u=0\lim_{u \rightarrow +\infty} \frac{\ln(u)^2}{u} = 0$ .

Maintenant ce que l'on va faire c'est remplacer u par 1/x. Dans ce cas on récrit tout ça :

$lim⁡1x→+∞ln⁡(1/x)21/x=0\lim_{\frac{1}{x} \rightarrow +\infty} \frac{\ln(1/x)^2}{1/x} = 0$

Or a limite d'une fonction quand 1/x tend vers +∞ c'est la limite de la fonction en $0^+$ , es-tu d'accord ? Donc tout ça se récrit (regarde sous la limite) :

$lim⁡x→0+ln⁡(1/x)21/x=0\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln(1/x)^2}{1/x} = 0$

Et pour terminer essaie de manipuler la fonction en question pour retrouver l'expression de l'énoncé.

@+

Merci pour ton aide

Pour la 2c, j'ai trouvé que la limite était égale à 0

pour la tangente, j'ai un problème car, ln0 n'existe pas donc, on ne peux pas utiliser la formule de la tangente donc, d'après les résultats précédents, je pensais que la tangente pouvais être une droite passant par l'origine et étant perpendiculaire à l'axe des abscisses mais, je ne suis pas sûre ^^

Je ne comprends pas
la 2c c'est bien

$lim⁡x→0f0(x)x=lim⁡x→0x(ln⁡x)2x=lim⁡x→0(ln⁡x)2≠0\lim _{x \rightarrow 0}\frac{f_0(x)}{x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(\ln x)^2}{x}= \lim _{x \rightarrow 0} (\ln x)^2 \ne 0$

zut, je me suis trompée je me suis compliquée la vie et j'ai fais n'importe quoi au final

la limite c'est +∞ étant donné que lim ln x quand x→0 est égale à -∞
(j'espère que je ne me suis pas trompée car, je commence à désespérée)

oui c'est bon
quand tu as +∞ pour une limite en un point d'abscisse a tu as une tangente...

donc la tangente passe par O et "longe" la courbe C0 mais, je ne sais pas trop, je crois bien que je suis nulle (en tout cas pour cet exercice) :frowning2:

miumiu
oui c'est bon
quand tu as +∞ pour une limite en un point d'abscisse a tu as une tangente...
excuse moi j'ai confondu tangente et assymptote ...
en fait quand tu regardes bien limite qu'ils t'ont fait calculer
tu as le nombre dérivé de la fonction f_0 en 0 tu vois ?!

je remarques bien qu'il y a la dérivée au niveau des imites calculées mais, je ne vois pas le rapport avec la tangente

Si f est dérivable en x_0, alors la tangente en le point (x0,f(x0)) a pour équation :
y-f(x0)=f'(x_0)(x-x_0).

tu le vois le lien avec le dérivée lol

ce que tu donnes c'est la formule de calcul de la tangente mais, je n'arrive pas à la calculer ici :frowning2:

Salut
J'ai le même exercice et je suis bloquée à la partie II. :frowning2:

Citation
b) Soit Ak le point de Ck d'abscisse 1, montrer que la tangente Tk à Ck au point Ak est la droite (OAk)
Moi j'ai fait y = f'(1)(x-1) + f(1) et si j'ai fait juste on doit trouver y = kx.

oui, c'est bien sa car, finalement c'est ce que j'ai trouvé et d'après un ami c'est juste

Finalement, c'est bon, j'ai réussi à finir l'exercice, quelqu'un m'as aidé, merci miumiu pour l'aide que tu m'avais donné et aussi merci à Jeet-chris qui m'avais également aidé à un moment donner.

ok de rien
@+++