[bac pro] dérivée



  • salut a tous,
    j'ai un exercice sur les dérivées d'une fonction a realiser, mais je ne comprend rien du tout, pouvez-vous m'aider?
    pourriez-vous m'expliquer un peu comment procéder en realisant cet exemple: f(x) = 1/(x-1)

    merci bcp pour votre aide!



  • bonjour,

    tu poses u=x-1
    ainsi,f(x) est de la forme 1/u donc sa derivée est -u'/u²

    u'(x)=1 u²=(x-1)²

    f'(x) = -1/(x-1)²

    bonne soirée



  • ok merci, et avec cette exemple plus complexe, ca donnerai koi:

    f(x) = (x+3) / (x-1)

    ??


  • Modérateurs

    Salut.

    De manière générale, les fonctions de la forme u/v ont pour dérivée:
    (u/v)'=(u'v-uv')/v²

    Attention au signe -, il est source d'erreurs.


    Prenons ta fonction f(x) = (x+3) / (x-1) .

    u=x+3 et u'=1
    v=x-1 et v'=1

    Donc f'(x)=[1*(x-1)-(x+3)*1]/(x-1)²=-4/(x-1)²


    Pour bien montrer la généralité de cette formule, je reviens sur l'exemple précédent: f(x) = 1/(x-1).

    u=1 et u'=0
    v=x-1 et v=1

    f'(x)=[0*(x-1)-1*1]/(x-1)²=-1/(x-1)²

    On retrouve bien le même résultat(c'est le cas où u est une constante en fait).

    Voilà.

    @+



  • d'accord je crois avoir compris a présent, merci pour votre aide!



  • donc pour voir si j'ai bien compris, voici une exo que j'ai fait:

    f(x) = -5 / (x²+3) => f'(x) = 10 / (x²+3)²

    c'est ca le resultat?



  • celle-ci est plus dur, je ne comprend pa trop:

    f(x) = 1 / (2x-3)²



  • Salut!
    Est-ce que tu connais les dérivées des fonctions puissances?ici tu en a une un peu cachée!
    f(x) = 1/(2x-3)² = (2x-3)^(-2) (je désigne par ^ les puissances)
    et la dérivée de u^p c'est p * u' * u^(p-1) ...enfin il me semble que c'est ça(ça fait 1mois et demi que je n'ai réouvert mes cours de maths!)
    Au pire si tu ne connais pas, tu peux utiliser la formule de base:u/v avec u=1 et v=(2x-3)²
    et la dérivée de u/v c'est [ vu' -uv-]/(v²)
    ce qui te donne ici u'=0 et v'=2(2)(2x-3)=4(2x-3)
    d'où f'(x) = [-4(2x-3)]/[(2x-3)²]² = (-4(2x-3)) / [(2x-3)^4]
    que tu peux en + simplifier:
    f'(x) = (-4(2x-3)) / [(2x-3)^4] = -4(2x-3)(2x-3)^(-4) = -4(2x-3)^(-3)...et avec la formules des puissances...on trouve aussi ça!donc je pense que je ne suis pas très loin du compte!!
    Voilà!
    Si tu as d'autres soucis n'hésites surtout pas!!
    Tiens moi au courant et dit moi si c'est juste(et j'espère que c'est juste sinon...il va falloir que je revois mes formules de dérivation...)
    Poutoux!
    Nel'



  • rien compris lol 😆



  • Quoi??!!sans rire??!!!J'explique si mal que ça??!!
    Ok alors on va reprendre calmement:

    f(x)=1/(2x-3)² et tu cherches la dérivée...jusqu'à là tout va bien?

    bon, la 1ère technique que je voulais utiliser c'était la formule qui donne la dérivée d'une puissance.
    Ici on peut utiliser la formule puisqu'il y a une puissance " ² "
    en effet: f(x) = 1/(2x-3)² = (2x-3)^(-2) (ici ^ signifie exposant)
    Alors la dérivée de u^p (avec u une fonction ici (2x-3) et p la puissance ici (-2)) est donnée par (p)(u')(u^(p-1))...mais tu ne connais peut être pas cette formule?!alors ne t'embètes pas avec elle et je t'en donne une plus simple:
    cette formule c'est :si f(x) est de la forme u/v (donc ic u=1 et v=(2x-3)²) la dérivée est alors donnée par : f'(x) = [vu' - uv'] / (v²)
    et il ne te reste plus qu'à remplacer!
    J'espère que tu as compris!si ce n'est toujours pas le cas, fais moi signe...
    Nel'


  • Modérateurs

    Salut.

    C'est bon ça: f(x) = -5 / (x²+3) => f'(x) = 10 / (x²+3)²

    Je reprends l'explication de Nelly.
    On considère la fonction f(x) = 1 / (2x-3)².


    En reprenant l'expression que j'avais donnée:
    De manière générale, les fonctions de la forme u/v ont pour dérivée:

    (u/v)'=(u'v-uv')/v²

    Donc:
    u=1 et u'=0
    v=(2x-3)² et v'=4*(2x-3)

    En remplaçant, on trouve le résultat:
    f'(x)=-[4*(2x-3)]/[(2x-3)²]²
    f'(x)=-4(2x-3)/(2x-3)^4

    f'(x)=-4/(2x-3)³


    Mais comment ai-je trouvé la dérivée de v=(2x-3)² ?

    Pour ça, on utilise la formule de la dérivée d'une fonction composée:
    on prend f et g 2 fonctions.

    *(g(f(x)))'=f'(x)g'(f(x))

    Dans notre exemple:

    Soit f(x)=2x-3 et g(x)=x².
    Alors v=g(f(x))=(2x-3)².

    Calculons les dérivées:
    f(x)=2x-3 => f'(x)=2
    g(x)=x² => g'(x)=2x (dérivée d'une fonction puissance)

    En remplaçant, on obtient:
    (g(f(x)))'=2*2(2x-3)=4(2x-3)

    @+

    EDIT: modification de la formule de la dérivée d'une composée en tenant compte de la très juste remarque de jaoira.



  • Un pti rectificatif d'expression (ou plutot de notation) dans la derniere reponse de Jeet-Chris :
    lorsque tu donnes la derivee d'un focntion composee, tu ecris :

    g'(f(x)) = f'(x) * g'(f(x)) , ceci devait etre plutot (g(f(x)))'=f'(x) * g'(f(x)). D'ailleurs lla formule que tu donnes stipule que f'(x) = 1 ....


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