suites et barycentre

bonjour à tous et à Miumiu,
Un exercice sur lequel je bloque partiellement, merci pour votre aide si possible :

On considère les suites de points $A_n$ et $B_n$ définies pour tout entier naturel n tel que : sur un axe orienté (O, $u→u^\rightarrow$ ) le point $A_0$ a pour abcisse 0 et le point $B_0$ a pour abscisse 12.

Le point $A_{n+1}$ est le barycentre des points pondérés $A_n$ ;2) et $B_n$ ;3)
$B_{n+1}$ est le barycentre des points pondérés $A_n$ ;1) et $B_n$ ;3)

Placer les points $A_2$ et $B_2$
On définit les suites $a_n$ ) et $b_n$ ) des abscisses respectives des points $A_n$ et $B_n$

Montrer que :
$a_{n+1}$ = $2a_n$ + $b_n$ )/3
$b_{n+1}$ = $a_n$ + $3b_n$ )/4

On considère la suite $u_n$ ) définie pour tout entier naturel n par : $u_n$ = $b_n$ - $a_n$

a) Montrer que la suite est géométrique : [je trouve une raison de 5/12]

b) Donner l'expression de $u_n$ en fonction de n : je trouve $u_n$ =12(5/12 $^n$ ?
c) Limite de $u_n$ Interpréter géométriquement :::Là je cale

Démontrer que la suite $a_n$ ) est croissante
Etudier les variations de la suite $b_n$ )
Que peut-on déduire des résultats précédents quant à la convergence des suites $a_n$ ) et $b_n$ ) ?
On considère la suite $v_n$ ) définie par $v_n$ = $3a_n$ + $4b_n$ : montrer qu'elle est constante

Déterminer la limite des suites $a_n$ ) et $b_n$ )

Intervention de Zorro = j'ai complété le sujet qui ne l'était pas à l'origine !

Bonjour,

Citation
je trouve une raison de 5/12

Quelle est la limite d'une suite géométrique de raison q telle que -1 < q < 1 ?

Ce qui revient à chercher la limite de $q)^n$ quand n tend vers l'infini avec
-1 < q < 1

C'est une question de cours !

La conclusion de l'interprétation géométrique en découle de façon évidente !

Je n'ai pas regardé comment démontrer que ( $a_n$ ) est croissante mais il me semble qu'un simple calcul de $a_{n+1}$ - $a_n$ doit permettre d'y arriver !

En effet c'est un simple calcul de $a_{n+1}$ - $a_n$ : on tombe sur ce qui a été étudié plus haut

Idem pour $b_{n+1}$ - $b_n$ et pour la fin c'est une question de cours !

bonjour,
$u_n$ tend vers 0 bien sûr, mais c'est l'interprétation géométrique que je ne vois pas ?
merci de ta rapidité !

regarde la définition de $u_n$ !!

$u_n$ = $a_n$ - $b_n$ donc si $u_n$ a pour limite 0 .....

cela veut dire quà l'infini $a_n$ - $b_n$ se rapproche de 0 donc les nombres $a_n$ et $b_n$ deviennent de plus en plus proche

donc à l'infini les points $A_n$ et $B_n$ seront confondus !

$a_{n+1}$ - $a_n$ = $12/15)u_n$ donc "positif" donc $a_n$ ) croissante
$b_{n+1}$ - $b_n$ = $3/5)u_n$ donc $b_n$ ) décroissante.
puis-je dire que ces 2 suites sont convergentes , $a_n$ en croissant, $b_n$ ,en décroissant ?
Comment trouver leur limite ?
merci,

*Intervention de Zorro = ajout d'espaces *

Je reviens à la définition de $u_n$

Et si limite de $u_n$ = 0 , alors ...... ?

Cela ne te fait pas penser à des suites adjacentes ! Regarde ton cours et les exos faits en classe sur le sujet ! La réponse y est obligatoirement.

oui elles sont ajacentes :leur différence tend vers 0,mais comment calculer leur limite respective ?

Sans définition de la suite $b_n$ ) c'est plutôt difficile !

Merci de m'aider ,je n'arrive pas à conclure cet exo :
je trouve $a$ _{(n+1)} $a_n$ + $4(5/12)^n$ et donc semble tendre vers $a_1$ =4 ?

et $b$ _{(n+1)} $b_n$ = $3(5/12)^n$ qui semble tendre vers $b_0$ =12 ?
donc leur différence ne tend pas vers 0 ???
je dois faire une erreur mais où??

merci de ton aide ..

J'aiiiiii omis les questions suivantes :
Etudier les variations de la suite $b_n$ )
(Que peut-on dire des résultats précédents quant à la convergence des suites $a_n$ ) et( $b_n$
Partie C
On considère la suite $v$ n $3a_n$ +4 $b_n$ :montrer qu'elle est constante
Déterminer les limites des suite $a{n }$ et $b_n$
tout est là!

Je répète :sans la définition de la suite $b_n$ ) c'est plutôt difficile de savoir où est ton erreur !!

on connait $a_n$ ) mai pas $b_n$ )

J'aiiiiii omis les questions suivantes :
Etudier les variations de la suite $b_n$ )
(Que peut-on dire des résultats précédents quant à la convergence des suites $a_n$ ) et( $b_n$
Partie C
On considère la suite $v$ n $3a_n$ +4 $b_n$ :montrer qu'elle est constante
Déterminer les limites des suite $a{n }$ et $b_n$
tout est là!

l'énoncé dit que b $_{n+1)}$ = $a_n$ + 3 $b_n$ )/4 c'est tout !?

non l'énoncé dit : démontrer que ..... ce n'est pas la définition de $b_n$ )

Ce que tu nous a envoyé explique bien comment est construit la suite des points $A_n$ par contre il n'y a rien pour définir les $B_n$ !!!

Comment as tu construit dans la 1ère question $B_2$ ?

Ma question est-elle claire ? .... Relis ton message initial :

Citation
Un exercice sur lequel je bloque partiellement,merci pour votre aide si possible :
On considèreles suites de points $A_{n }$ et $B_{n }$ définies pour tout entier naturel n tel que : sur un axe orienté (O,û) le point $A_°$ a pour abcisse 0 et le point $B_{° }$ a pour abcisse 12.
Le point $A_{(n+1)}$ est le barycentre des points $A_n$ ;2) et $B_n$ ;3)
1.Placer les pts $A_{2 }$ et $B_2$

C'est vrai aussi que sans ce que tu avais oublié et rajouté à 18h03, on a vraiment du mal à t'aider !!!!

Zorro
C'est vrai aussi que sans ce que tu avais oublié et rajouté à 18h03, on a vraiment du mal à t'aider !!!!
mes excuses les plus plates!j'ai omis une ligne dans le stress!:
" $B({n+1}$ ) est le barycentre des points pondérés( $A < / e m >$ n;1) et( $B_$n;3)
merci pour votre patience et votre gentillesse :rolling_eyes:

Pense à exploiter toutes les infos dont :

Citation
On considère la suite $v_n$ = $3a_n$ + $4b_n$ : montrer qu'elle est constante

On sait que $a_n$ ) et $b_n$ ) on même limite $l$ donc que peut-on en conclure avec ce qui est au dessus !

Que vaut $v_n$ ?

$v_n$ = $3a_n$ + $4b_n$ = $3a_{n+1}$ $4b_{n+1}$ donc la suite est constante

donc $v_n$ = $7a_$n ?

Intervntion de Zorro = ajout d'espaces pour rendre le tout plus lisible

Parce que pour toi $7a_n$ est une constante et ne dépend pas de n !!!

Il faut que tu revois ta notion de constante !

Zorro

Parce que pour toi $7a_n$ est une constante et ne dépend pas de n !!!

Il faut que tu revois ta notion de constante !

je ne vois pas aidez moi !

je trouve que : $a_{n+1}$ = $a_n$ + $4(5/12)^n$
et $b_{n+1}$ = $b_n$ - $3(5/12)^n$

mais je cale !

intervention de Zorro = mise en forme du message qui présentait des erreurs de place dans les indices !

Pour montrer la croissance ou la décroissance d'une suiet que fais-tu ? Que pourrais-tu donc faire pour montrer qu'une suite est constante !

voir mon post 21h27j'ai montré que :
$3 a$ n $4b_n$ = 3 $a{(n+1}$ ) +4 b $_{(n+1)}$

Et maintenant que tu sais que $v_n$ ) est constante tu ne peux toujours pas trouver à quoi est égal le nombre $v_n$ pour tout n ?

en fonction des valeurs de $a({n+1)}$ et $b({n+1)}$ trouvées (post 22h30)on trouve v $_{n+1}$ = $v_n$
celà n'avance pas beaucoup !??

bin si $v_n$ ) est une suite constante, pour tout n de IN on a donc :

$v_n$ = $v_{98765}$ = $v_{321}$ ou plus simple peut-être !

effectivement je suis un peu...lourd!:
$v_n$ = $v_0$ = $4b_0$ + $3a_0$ = 48

et donc on calcule sachant que $b_n$ - $a_n$ = $12(5/12)^n$ ....:
$a_n$ = $48/7[1-(5/12)^n$ ]

et on vérifie que $a_0$ =0 $a_1$ = 4 etc...

et que $b_n$ = $192/28[1-(5/12)^n$ ] et donc que les limites de $a_n$ = 48/7 et que $b_n$ = 192/28 = 48/7 $a_n$ et $b_n$ sont bien convergentes

merci de ton aide ,celà a été un peu dur !!

En effet, souvent il ne faut pas chercher trop compliqué quand on peut faire simple !

De rien et à la prochaine ! En cas de besoin.

votre dévouement et votre gentillesse + votre compétence sont admirables !
un grand merci

De rien ...