suites et barycentre



  • bonjour à tous et à Miumiu,
    Un exercice sur lequel je bloque partiellement, merci pour votre aide si possible :

    On considère les suites de points AnA_n et BnB_n définies pour tout entier naturel n tel que : sur un axe orienté (O,uu^\rightarrow) le point A0A_0 a pour abcisse 0 et le point B0B_0 a pour abscisse 12.

    Le point An+1A_{n+1} est le barycentre des points pondérés (An(A_n;2) et (Bn(B_n;3)
    Bn+1B_{n+1} est le barycentre des points pondérés (An(A_n;1) et (Bn(B_n;3)

    1. Placer les points A2A_2 et B2B_2

    2. On définit les suites (an(a_n) et (bn(b_n) des abscisses respectives des points AnA_n et BnB_n

    Montrer que :
    an+1a_{n+1} = (2an(2a_n + bnb_n)/3
    bn+1b_{n+1} = (an(a_n + 3bn3b_n)/4

    1. On considère la suite (un(u_n) définie pour tout entier naturel n par : unu_n = bnb_n - ana_n

    a) Montrer que la suite est géométrique : [je trouve une raison de 5/12]

    b) Donner l'expression de unu_n en fonction de n : je trouve unu_n =12(5/12 )n)^n?
    c) Limite de unu_n Interpréter géométriquement :::Là je cale

    1. Démontrer que la suite (an(a_n) est croissante
      Etudier les variations de la suite (bn(b_n)
      Que peut-on déduire des résultats précédents quant à la convergence des suites (an(a_n) et (bn(b_n) ?

    2. On considère la suite (vn(v_n) définie par vnv_n = 3an3a_n + 4bn4b_n : montrer qu'elle est constante

    Déterminer la limite des suites (an(a_n) et (bn(b_n)

    Intervention de Zorro = j'ai complété le sujet qui ne l'était pas à l'origine !



  • Bonjour,

    Citation
    je trouve une raison de 5/12

    Quelle est la limite d'une suite géométrique de raison q telle que -1 < q < 1 ?

    Ce qui revient à chercher la limite de (q)n(q)^n quand n tend vers l'infini avec
    -1 < q < 1

    C'est une question de cours !

    La conclusion de l'interprétation géométrique en découle de façon évidente !

    Je n'ai pas regardé comment démontrer que ( ana_n ) est croissante mais il me semble qu'un simple calcul de an+1a_{n+1} - ana_n doit permettre d'y arriver !



  • En effet c'est un simple calcul de an+1a_{n+1} - ana_n : on tombe sur ce qui a été étudié plus haut

    Idem pour bn+1b_{n+1} - bnb_n et pour la fin c'est une question de cours !



  • bonjour,
    unu_n tend vers 0 bien sûr, mais c'est l'interprétation géométrique que je ne vois pas ?
    merci de ta rapidité !



  • regarde la définition de unu_n !!

    unu_n = ana_n - bnb_n donc si unu_n a pour limite 0 .....

    cela veut dire quà l'infini ana_n - bnb_n se rapproche de 0 donc les nombres ana_n et bnb_n deviennent de plus en plus proche

    donc à l'infini les points AnA_n et BnB_n seront confondus !



  • an+1a_{n+1} - ana_n = (12/15)un(12/15)u_n donc "positif" donc (an(a_n) croissante
    bn+1b_{n+1} - bnb_n = (3/5)un(-3/5)u_n donc (bn(b_n) décroissante.
    puis-je dire que ces 2 suites sont convergentes ,ana_nen croissant,bnb_n,en décroissant ?
    Comment trouver leur limite ?
    merci,

    *Intervention de Zorro = ajout d'espaces *



  • Je reviens à la définition de unu_n

    Et si limite de unu_n = 0 , alors ...... ?

    Cela ne te fait pas penser à des suites adjacentes ! Regarde ton cours et les exos faits en classe sur le sujet ! La réponse y est obligatoirement.



  • oui elles sont ajacentes :leur différence tend vers 0,mais comment calculer leur limite respective ?



  • Sans définition de la suite (bn(b_n) c'est plutôt difficile !



  • Merci de m'aider ,je n'arrive pas à conclure cet exo :
    je trouve aa_{(n+1)}=an=a_n + 4(5/12)n4(5/12)^n et donc semble tendre vers a1a_1=4 ?

    et bb_{(n+1)}bn-b_n= 3(5/12)n-3(5/12)^n qui semble tendre vers b0b_0=12 ?
    donc leur différence ne tend pas vers 0 ???
    je dois faire une erreur mais où??

    merci de ton aide ..



  • J'aiiiiii omis les questions suivantes :
    Etudier les variations de la suite (bn(b_n)
    (Que peut-on dire des résultats précédents quant à la convergence des suites ana_n) et( bnb_n
    Partie C
    On considère la suite vvn=3an=3a_n +4 bnb_n:montrer qu'elle est constante
    Déterminer les limites des suite a</em>na</em>{n }et bnb_n
    tout est là!



  • Je répète :sans la définition de la suite (bn(b_n) c'est plutôt difficile de savoir où est ton erreur !!

    on connait (an(a_n) mai pas (bn(b_n)



  • J'aiiiiii omis les questions suivantes :
    Etudier les variations de la suite (bn(b_n)
    (Que peut-on dire des résultats précédents quant à la convergence des suites ana_n) et( bnb_n
    Partie C
    On considère la suite vvn=3an=3a_n +4 bnb_n:montrer qu'elle est constante
    Déterminer les limites des suite a</em>na</em>{n }et bnb_n
    tout est là!



  • l'énoncé dit que b (n+1)(_{n+1)} = (an(a_n + 3 bnb_n)/4 c'est tout !?



  • non l'énoncé dit : démontrer que ..... ce n'est pas la définition de (bn(b_n)

    Ce que tu nous a envoyé explique bien comment est construit la suite des points AnA_n par contre il n'y a rien pour définir les BnB_n !!!

    Comment as tu construit dans la 1ère question B2B_2 ?

    Ma question est-elle claire ? .... Relis ton message initial :

    Citation
    Un exercice sur lequel je bloque partiellement,merci pour votre aide si possible :
    On considèreles suites de points AnA_{n }et BnB_{n }définies pour tout entier naturel n tel que : sur un axe orienté (O,û) le point $A_°$ a pour abcisse 0 et le point $B_{° }$a pour abcisse 12.
    Le point A(n+1)A_{(n+1)}est le barycentre des points (An(A_n;2) et (Bn(B_n;3)
    1.Placer les pts A2A_{2 }et B2B_2



  • C'est vrai aussi que sans ce que tu avais oublié et rajouté à 18h03, on a vraiment du mal à t'aider !!!!



  • Zorro
    C'est vrai aussi que sans ce que tu avais oublié et rajouté à 18h03, on a vraiment du mal à t'aider !!!!
    mes excuses les plus plates!j'ai omis une ligne dans le stress!:
    "B(<em>n+1B(<em>{n+1}) est le barycentre des points pondérés( A</em>A</em>n;1) et( $B_$n;3)
    merci pour votre patience et votre gentillesse :rolling_eyes:



  • Pense à exploiter toutes les infos dont :

    Citation
    On considère la suite vnv_n = 3an3a_n + 4bn4b_n : montrer qu'elle est constante

    On sait que (an(a_n) et (bn(b_n) on même limite ll donc que peut-on en conclure avec ce qui est au dessus !

    Que vaut vnv_n ?



  • vnv_n = 3an3a_n + 4bn4b_n = 3an+13a_{n+1} +4bn+1+4b_{n+1} donc la suite est constante

    donc vnv_n = $7a_$n ?

    Intervntion de Zorro = ajout d'espaces pour rendre le tout plus lisible



  • 😕

    Parce que pour toi 7an7a_n est une constante et ne dépend pas de n !!!

    Il faut que tu revois ta notion de constante !



  • Zorro
    😕

    Parce que pour toi 7an7a_n est une constante et ne dépend pas de n !!!

    Il faut que tu revois ta notion de constante !

    je ne vois pas aidez moi !



  • je trouve que : an+1a_{n+1} = ana_n + 4(5/12)n4(5/12)^n
    et bn+1b_{n+1} = bnb_n - 3(5/12)n3(5/12)^n

    mais je cale !

    intervention de Zorro = mise en forme du message qui présentait des erreurs de place dans les indices !



  • Pour montrer la croissance ou la décroissance d'une suiet que fais-tu ? Que pourrais-tu donc faire pour montrer qu'une suite est constante !



  • voir mon post 21h27j'ai montré que :
    3a3an+4bn+4b_n = 3 a</em>(n+1a</em>{(n+1}) +4 b (n+1)_{(n+1)}



  • Et maintenant que tu sais que (vn(v_n) est constante tu ne peux toujours pas trouver à quoi est égal le nombre vnv_n pour tout n ?



  • en fonction des valeurs de a(<em>n+1)a(<em>{n+1)} et b(</em>n+1)b(</em>{n+1)} trouvées (post 22h30)on trouve v n+1_{n+1} = vnv_n
    celà n'avance pas beaucoup !??



  • bin si (vn(v_n) est une suite constante, pour tout n de IN on a donc :

    vnv_n = v98765v_{98765} = v321v_{321} ou plus simple peut-être !



  • effectivement je suis un peu...lourd!:
    vnv_n = v0v_0 = 4b04b_0 + 3a03a_0= 48

    et donc on calcule sachant que bnb_n - ana_n= 12(5/12)n12(5/12)^n ....:
    ana_n= 48/7[1(5/12)n48/7[1-(5/12)^n]

    et on vérifie que a0a_0=0 a1a_1= 4 etc...

    et que bnb_n = 192/28[1(5/12)n192/28[1-(5/12)^n] et donc que les limites de ana_n = 48/7 et que bnb_n = 192/28 = 48/7 ana_n et bnb_n sont bien convergentes

    merci de ton aide ,celà a été un peu dur !! 😉



  • En effet, souvent il ne faut pas chercher trop compliqué quand on peut faire simple !

    De rien et à la prochaine ! En cas de besoin.



  • votre dévouement et votre gentillesse + votre compétence sont admirables !
    un grand merci 😄


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