Donner l'expression d'une suite par récurrence

[Kheops88]

bonjour, j'ai un problème avec un exercice pour les suites

Les suites x et y sont définies par :

$x_{n+1}=f(x_n)$ avec $f(x)=\frac{x^2+5/4}{2x}$ et $x_0=5/4$
$y_{n+1}=\frac{x_n-\sqrt{5/4}}{x_n+\sqrt{5/4}}$

et je bloque sur la question Prouver que $y_{n+1}$ s'exprime en fonction de $y_n$

en sachant qu'on a deja démontré que X converge vers $\sqrt{5/4}$

merci.

[Zorro]

Bonjour,

les caluls sont un peu longs mais il faut partir de l'expression de $Y_{n+1}$

en remplaçant $X_n$ par $f(X_{n-1}$)

Je te conseille de calculer d'un côté $f(X_{n-1}$) + √(5/4) et de l'autre $f(X_{n-1}$) - √(5/4)

A un momment il faut appliquer les identités
$a^2$ + 2ab + $b^2$ = (a + $b{)}^2$
$a^2$ - 2ab + $b^2$ = (a - $b{)}^2$

et à la fin je trouve $Y_{n+1}$ = $(Y$_n${)}^2$

avec quelques erreurs de calcul possibles !

[Kheops88]

merci beaucoup, je trouve également Yn+1 = (Yn)²

[Zorro]

De rien !