Donner l'expression d'une suite par récurrence


  • K

    bonjour, j'ai un problème avec un exercice pour les suites

    Les suites x et y sont définies par :

    xn+1=f(xn)x _{n+1} = f(x_n)xn+1=f(xn) avec f(x)=x2+5/42xf(x) = \frac{x^2 + 5/4}{2x}f(x)=2xx2+5/4 et x0=5/4x_0 = 5/4x0=5/4
    yn+1=xn−5/4xn+5/4y _{n+1} = \frac{x_n - \sqrt{5/4} }{x_n + \sqrt{5/4} }yn+1=xn+5/4xn5/4

    et je bloque sur la question Prouver que yn+1y _{n+1}yn+1 s'exprime en fonction de yny _nyn

    en sachant qu'on a deja démontré que X converge vers 5/4\sqrt{5/4}5/4

    merci.


  • Zorro

    Bonjour,

    les caluls sont un peu longs mais il faut partir de l'expression de Yn+1Y_{n+1}Yn+1

    en remplaçant XnX_nXn par f(Xn−1f(X_{n-1}f(Xn1)

    Je te conseille de calculer d'un côté f(Xn−1f(X_{n-1}f(Xn1) + √(5/4) et de l'autre f(Xn−1f(X_{n-1}f(Xn1) - √(5/4)

    A un momment il faut appliquer les identités
    a2a^2a2 + 2ab + b2b^2b2 = (a + b)2b)^2b)2
    a2a^2a2 - 2ab + b2b^2b2 = (a - b)2b)^2b)2

    et à la fin je trouve Yn+1Y_{n+1}Yn+1 = (Y(Y(Y_n)2)^2)2

    avec quelques erreurs de calcul possibles !


  • K

    merci beaucoup, je trouve également Yn+1 = (Yn)²


  • Zorro

    De rien !


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