intégration par parties



  • Bonjour tout le monde !! 😁 Voila j'ai de nouveau des problèmes pour deux exos... Le pire c'est que je suis coincée dès le début alors j'arrive pas à avancer.. :frowning2: Est-ce que vous pouvez m'aider à commencer mes exos merci d'avance.

    Voila l'énoncé :

    Exercice 1 :

    1. déterminer trois réels a, b,c tels que pour tout x∈]0;+∞[ :

    1/x(1+x)² = a/x + b/1+x + c/(1+x)²

    1. Soit X≥ 1

    a) Calculer ∫ (1/x(1+x)²,x,1,X) je le marque comme je met dans ma calcul (TI)

    b) Soit φ la fonction définie sur [1;+∞[ par φ(x)= ∫(lnx/(1+x)3(lnx/(1+x)^3,x,1,X)
    En intégrant par parties, calculer φ(x) en fonction de X

    c) Montrer que lim lnX/(1+X)² =0
    X→+∞
    En déduire que lim φ = 1/2 (ln2-1/2)

    Exercice 2

    Soit α>0 α∈mathbbRmathbb{R}

    1/ On pose I(α )= ∫(1/t²e1/t*e^{-1/t},t,α,1)

    a) Exprimer I(α ) en fonction de α

    b) Déterminer lim I(α )
    α→0

    1. On pose J(α )= ∫( 1/t1/t^3e1/t*e^{-1/t},t,α,1)

    a) En utilisant une intégration par parties, exprimer J(α ) en fonction de α et I(α ) puis en fonction de α

    b) Déterminer lim J(α )
    α→0

    Voila ce que j'ai fais

    Exo 1

    J'ai commencé à chercher les réels seulement x*(1+x)*(1+x)² = x(1+x)3x(1+x)^3
    Donc ca peut pas être égal donc je me suis dit qu'il fallait faire b=0 et

    1/x(1+x)² = (a*(1+x)²+cx)/x(1+x)²
    = (ax²+ (2a+c)x +a / x(1+x)²

    seulement a peut pas être égal à 1 et à 0 à la fois :frowning2:

    Exo 2

    J'ai commencé par faire une intégration par partie pour exprimer I(α ) en fonction de α mais je suis bloquée :

    u = 1/x² u'= 2/t3-2/t^3
    v'= e1/te^{-1/t} V= 1/t² * e1/te^{-1/t}

    I= [1/t²*1/t²<em>e1/t<em>e^{-1/t}] - ∫ 2</em>t3-2</em>t^3*1/t²e1/t*e^{-1/t}

    Là je peut pas continuer si je prends l'inverse je reste aussi bloquée

    u=e1/tu=e^{-1/t}
    v'=1/t²

    aidez s'il vous plait 😕

    Intervention de Zorro = j'ai enlevé la couleur orange parce que je n'y voyais rien et cela n'apporte rien à la question + mise d'un 's' à intégration par parties


  • Modérateurs

    Salut.

    Pour le 1er exo, c'est vrai que 1/x(1+x)³ au dénominateur serait plus logique. D'ailleurs si on regarde la définition de φ il y a bien une puissance 3.

    Exercice 2

    1.a) Dérive-moi la fonction t → e1/te^{-1/t}. 😉

    @+



  • comment je fais alors pour l'exo 1 je cherche avec le dénominateur x(1+x)3x(1+x)^3 ??? :frowning2:

    pour l'exo 2

    f'(t) = 1/t²e1/te^{-1/t}

    ???


  • Modérateurs

    Salut.

    Pour l'exo 1 je n'en sais rien.

    Sinon la dérivée est bonne. Maintenant calculer I(α) ne devrait plus poser de problèmes. 😁

    @+



  • coucou
    Je te conseille pour la 1/ de mettre
    a/x + b/1+x + c/(1+x)²

    au même dénominateur
    de diviser par (1+x)
    tu devrais avoir au dénominateur x(1+x)²
    tu développes le numérateur
    tu factorises par x² et par x
    tu devrais trouver normalement
    @++



  • oki merci beaucoup à tous les deux !!! 😄



  • Oui tu me dis ce que tu trouves pour que je compare ^^.
    +++



  • recoucou voilà j'ai bien avancée mais j'ai encore un problème !! 😁

    voilà ce que j'ai fais :

    Exo 1: 😄

    1/x(1+x)² = a(1+x)²+cx+b(x(1+x)²) / x(1+x)²
    = ax²+(2a+b+c)x+a/ x(1+x)²

    a=1
    b=-1
    c=-1

    1. I=∫(1/x-1/(1+x)-1/(1+x)²)dx
      I =[ lnx - ln(x+1) + 1/x+1 ] de 1 à X
      I = lnX-ln(X+1)+1/(X+1)+ln0-1/2

    φ(x)= ∫(lnx/(1+x)3(lnx/(1+x)^3)dx

    u=lnx u'=1/x
    v'=1/(1+x)3=1/(1+x)^3 v=-1/(2(x+1)²)

    φ= [lnx*-1/(2(x+1)²)]-∫(-1/x*1/(2(1+x)²) dx
    =......................... + 1/2 I
    =lnX/2(X+1)²+lnU-ÿln(X+1)/2+1/2(X+1)+ln0-¿1/4

    c) lim lnX/(1+X)² = 0
    X→+∞
    car lim lnx/x =0
    x→+∞

    donc lim φ = 1/2 (ln2-1/2)



  • Exo 2 :

    I(α )= ∫1/t²e1/t*e^{-1/t} dt
    = [e1/t[e^{-1/t}] de α à 1
    =e1/t=e^{-1/t}- e1e^{-1}

    b) je sais pas comment faire parce que 0 est une valeur interdite

    1. J(α )=∫ 1/t1/t^3e1/t*e^{-1/t} dt

    et là je sais pas quoi prendre j'ai pris

    u=1/t u'=-1/t²
    v'=e1/t=e^{-1/t}/t² v'= e1/te^{-1/t}

    J=[1/t<em>e1/tJ=[1/t<em>e^{-1/t}] - ∫ 1/t</em>e1/t1/t</em>e^{-1/t}
    =........................+ I

    Mais j'ai un copain qui a pris

    u= e1/te^{-1/t}
    v'=1/t3=1/t^3

    et du coup il trouve pa pareil que moi ...
    Est ce que c'est lui ou moi qui a raison :frowning2: ou alors aucun des 2 lol

    *Intervention de Zorro = j'ai ajouté des espaces après * α pour supprimer l'affichage intempestif du smiley involontaire



  • Pour faire une intégration par parties il faut trouver comment transformer ce qui est sous le symbole ∫ sous la forme u'(x)v(x)

    il faut donc choisir u'(x) de façon à pourvoir trouver de façon simple u(x) ... Il faut donc choisir pour u'(x) une fonction facile à intégrer

    l'autre sera v(x) donc généralement pas de problèmes pour trouver v'(x)

    si tu prends u'(x) = e1/xe^{-1/x} quelle pourrait être une primitive de cela ? on ne sait pas faire

    donc il faut prendre u'(x) = 1/x² et là c'est plus faicile de trouver une primitive de u

    et donc v(x) = e1/xe^{-1/x } donc v'(x) = ??? etc ..

    Tu nous dis ce que cela t'inspire !



  • c'est pas forcément par parties qu'il faut raisonner !

    avec g(x) = e1/xe^{-1/x} = eu(x)e^{u(x)} avec u(x) = -1/x

    donc u'(x) = ???

    donc (1/x²)e1/t)*e^{-1/t} = u'(x) eu(x)e^{u(x)} donc une primitive est facilement "trouvable"



  • salut,on peut egalement se dire pour cette intégratrion:
    I(a)=∫(1/t(1/t^2e1/te^{-1/t})dt forme ∫u'v=[uv]-∫v'u
    on peut également choisir: u'=1/t2=1/t^2 et v=e1/tv=e^{-1/t} car la primitive u'=1/t2=1/t^2 est u=-1/t par la propriété pour une primitive de cette fonction est 1/tr1/t^r avec r∈mathbbRmathbb{R}-{1} →1/[(r1)t(r1)-1/[(r-1)t^{(r-1)} et pour v=e1/tv=e^{-1/t} on a v'=1/t=1/t^2e1/te^{-1/t}:
    I(a)=[1/t(e1/tI(a)=[-1/t(e^{-1/t})]-∫1/t1/t^2e1/te^{-1/t}(-1/t)dt facile à calculer.


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