intégration par parties

[zoé16]

Bonjour tout le monde !! Voila j'ai de nouveau des problèmes pour deux exos... Le pire c'est que je suis coincée dès le début alors j'arrive pas à avancer.. :frowning2: Est-ce que vous pouvez m'aider à commencer mes exos merci d'avance.

Voila l'énoncé :

Exercice 1 :

1. déterminer trois réels a, b,c tels que pour tout x∈]0;+∞[ :

1/x(1+x)² = a/x + b/1+x + c/(1+x)²

2. Soit X≥ 1

a) Calculer ∫ (1/x(1+x)²,x,1,X) je le marque comme je met dans ma calcul (TI)

b) Soit φ la fonction définie sur [1;+∞[ par φ(x)= ∫$(lnx/(1+x{)}^3$,x,1,X)
En intégrant par parties, calculer φ(x) en fonction de X

c) Montrer que lim lnX/(1+X)² =0
X→+∞
En déduire que lim φ = 1/2 (ln2-1/2)

Exercice 2

Soit α>0 α∈$mathbbR$

1/ On pose I(α )= ∫(1/t²$\ast e^{-1/t}$,t,α,1)

a) Exprimer I(α ) en fonction de α

b) Déterminer lim I(α )
α→0

2. On pose J(α )= ∫( $1/t$^3$\ast e^{-1/t}$,t,α,1)

a) En utilisant une intégration par parties, exprimer J(α ) en fonction de α et I(α ) puis en fonction de α

b) Déterminer lim J(α )
α→0

Voila ce que j'ai fais

Exo 1

J'ai commencé à chercher les réels seulement x*(1+x)*(1+x)² = $x(1+x{)}^3$
Donc ca peut pas être égal donc je me suis dit qu'il fallait faire b=0 et

1/x(1+x)² = (a*(1+x)²+cx)/x(1+x)²
= (ax²+ (2a+c)x +a / x(1+x)²

seulement a peut pas être égal à 1 et à 0 à la fois :frowning2:

Exo 2

J'ai commencé par faire une intégration par partie pour exprimer I(α ) en fonction de α mais je suis bloquée :

u = 1/x² u'= $-2/t^3$
v'= $e^{-1/t}$ V= 1/t² * $e^{-1/t}$

I= [1/t²*1/t²$<em>e^{-1/t}$] - ∫ $-2</em>t^3$*1/t²$\ast e^{-1/t}$

Là je peut pas continuer si je prends l'inverse je reste aussi bloquée

$u=e^{-1/t}$
v'=1/t²

aidez s'il vous plait

Intervention de Zorro = j'ai enlevé la couleur orange parce que je n'y voyais rien et cela n'apporte rien à la question + mise d'un 's' à intégration par parties

[Jeet-chris]

Salut.

Pour le 1er exo, c'est vrai que 1/x(1+x)³ au dénominateur serait plus logique. D'ailleurs si on regarde la définition de φ il y a bien une puissance 3.

Exercice 2

1.a) Dérive-moi la fonction t → $e^{-1/t}$.

@+

[zoé16]

comment je fais alors pour l'exo 1 je cherche avec le dénominateur $x(1+x{)}^3$ ??? :frowning2:

pour l'exo 2

f'(t) = 1/t²$e^{-1/t}$

???

[Jeet-chris]

Salut.

Pour l'exo 1 je n'en sais rien.

Sinon la dérivée est bonne. Maintenant calculer I(α) ne devrait plus poser de problèmes.

@+

[miumiu]

coucou
Je te conseille pour la 1/ de mettre
a/x + b/1+x + c/(1+x)²

au même dénominateur
de diviser par (1+x)
tu devrais avoir au dénominateur x(1+x)²
tu développes le numérateur
tu factorises par x² et par x
tu devrais trouver normalement
@++

[zoé16]

oki merci beaucoup à tous les deux !!!

[miumiu]

Oui tu me dis ce que tu trouves pour que je compare ^^.
+++

[zoé16]

recoucou voilà j'ai bien avancée mais j'ai encore un problème !!

voilà ce que j'ai fais :

Exo 1:

1/x(1+x)² = a(1+x)²+cx+b(x(1+x)²) / x(1+x)²
= ax²+(2a+b+c)x+a/ x(1+x)²

a=1
b=-1
c=-1

2. I=∫(1/x-1/(1+x)-1/(1+x)²)dx
   I =[ lnx - ln(x+1) + 1/x+1 ] de 1 à X
   I = lnX-ln(X+1)+1/(X+1)+ln0-1/2

φ(x)= ∫$(lnx/(1+x{)}^3$)dx

u=lnx u'=1/x
v'$=1/(1+x{)}^3$ v=-1/(2(x+1)²)

φ= [lnx*-1/(2(x+1)²)]-∫(-1/x*1/(2(1+x)²) dx
=......................... + 1/2 I
=lnX/2(X+1)²+lnU-ÿln(X+1)/2+1/2(X+1)+ln0-¿1/4

c) lim lnX/(1+X)² = 0
X→+∞
car lim lnx/x =0
x→+∞

donc lim φ = 1/2 (ln2-1/2)

[zoé16]

Exo 2 :

I(α )= ∫1/t²$\ast e^{-1/t}$ dt
= $[e^{-1/t}$] de α à 1
$=e^{-1/t}$- $e^{-1}$

b) je sais pas comment faire parce que 0 est une valeur interdite

2. J(α )=∫ $1/t$^3$\ast e^{-1/t}$ dt

et là je sais pas quoi prendre j'ai pris

u=1/t u'=-1/t²
v'$=e^{-1/t}$/t² v'= $e^{-1/t}$

$J=[1/t<em>e^{-1/t}$] - ∫ $1/t</em>e^{-1/t}$
=........................+ I

Mais j'ai un copain qui a pris

u= $e^{-1/t}$
v'$=1/t^3$

et du coup il trouve pa pareil que moi ...
Est ce que c'est lui ou moi qui a raison :frowning2: ou alors aucun des 2 lol

*Intervention de Zorro = j'ai ajouté des espaces après * α pour supprimer l'affichage intempestif du smiley involontaire

[Zorro]

Pour faire une intégration par parties il faut trouver comment transformer ce qui est sous le symbole ∫ sous la forme u'(x)v(x)

il faut donc choisir u'(x) de façon à pourvoir trouver de façon simple u(x) ... Il faut donc choisir pour u'(x) une fonction facile à intégrer

l'autre sera v(x) donc généralement pas de problèmes pour trouver v'(x)

si tu prends u'(x) = $e^{-1/x}$ quelle pourrait être une primitive de cela ? on ne sait pas faire

donc il faut prendre u'(x) = 1/x² et là c'est plus faicile de trouver une primitive de u

et donc v(x) = $e^{-1/x}$ donc v'(x) = ??? etc ..

Tu nous dis ce que cela t'inspire !

[Zorro]

c'est pas forcément par parties qu'il faut raisonner !

avec g(x) = $e^{-1/x}$ = $e^{u(x)}$ avec u(x) = -1/x

donc u'(x) = ???

donc (1/x²$)\ast e^{-1/t}$ = u'(x) $e^{u(x)}$ donc une primitive est facilement "trouvable"

[valek]

salut,on peut egalement se dire pour cette intégratrion:
I(a)=∫$(1/t$^2$e^{-1/t}$)dt forme ∫u'v=[uv]-∫v'u
on peut également choisir: u'$=1/t^2$ et $v=e^{-1/t}$ car la primitive u'$=1/t^2$ est u=-1/t par la propriété pour une primitive de cette fonction est $1/t^r$ avec r∈$mathbbR$-{1} →$-1/[(r-1)t^{(r-1)}$ et pour $v=e^{-1/t}$ on a v'$=1/t$^2$e^{-1/t}$:
$I(a)=[-1/t(e^{-1/t}$)]-∫$1/t$^2$e^{-1/t}$(-1/t)dt facile à calculer.