Cosinus (Dm de math)



  • Bonjour tout le monde,je poste ce message parce que j'ai un peu de mal à faire mon dm

    voilà l'exercice:

    Soit Téta un réel appartenant à [0;pi] tel que cos Téta = (√5-1)/4

    1)Calculer cos 2Téta et cos 3Téta.Que constatez-vous?

    2)Resolvez l'équation cos 2x = cos 3x dans l'intervalle [0;pi] et déduisez-en la valeur exacte de Téta.

    voilà ce que j'ai trouvé:

    cos 2Téta = cos(Téta + Téta)
    = cos Téta * cos Téta - sin Téta * sin Téta
    = cos² Téta - sin² Téta
    = (Cos Téta)² - (Sin Téta)²
    = [ (√5-1) / 4 ] ² - (1-cos² Téta)
    = [ (√5-1) / 4 ] ² - [ 1-(cos Téta) ² ]
    = [ (√5-1) / 4 ] ² - [ 1-( (√5-1) / 4) ² ]
    = [ (5-1) / 16 ] - [ (1-5-1)/ 16 ² ]
    = (4/16) - ( -5/16)
    = (4+5)/ 16
    = 9/16

    cos 3Téta = 4 * cos ³ Téta - 3 * cos Téta
    = 4 * (cos Téta)³ - 3 * cos Téta
    = 4* [ (√5-1)/4 ] ³ - 3 * [ (√5-1) /4]
    = (4* 5√5 - 1 /64) - (3√5+3 / 4)
    = (20√5 - 1 /64) - (6√5/4)
    = (-77√5)/64

    Es que vous pouvez me dire si cela est bon??



  • coucou
    tu aurais pu aller plus vite avec cette formule (que tu dois savoir )

    cos(2a) = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1

    (514)2=525+116(\frac{\sqrt{5}-1}{4})^2 = \frac{5 -2\sqrt{5} + 1}{16}

    recommence a partir de ce point



  • coucou,merci pour le début.Donc ça fait:

    cos(2a)=(5(1)4)2{cos(2a)}= (\frac{\sqrt{5}(-1)}{4})^2

    cos(2a)=525+116cos (2a) = \frac{5-2\sqrt{5}+1}{16}

    cos(2a)=4516cos(2a) = \frac{4\sqrt{5}}{16}

    cos(3a)=4cos3a3cosacos(3a) = 4 cos^3 a - 3 cos a

    =4(cos)33cos= 4(cos)^3 - 3cos

    =4(51)2(4)2(51)4(35+3)4= \frac{4(\sqrt{5}-1)^2}{(4)^2} * \frac{(\sqrt{5}-1)}{4} - \frac{(3\sqrt{5}+3)}{4}

    =4(51)16(51)4(35+3)4= \frac{4(5-1)}{16} * \frac{(\sqrt{5}-1)}{4} - \frac{(3\sqrt{5}+3)}{4}

    =4416(51)4(35+3)4= \frac{4 * 4}{16} * \frac{(\sqrt{5}-1)}{4} - \frac{(3\sqrt{5}+3)}{4}

    =165116(35+3)4= \frac{16\sqrt{5}-1}{16} - \frac{(3\sqrt{5}+3)}{4}

    =15516(155+12)16= \frac{15\sqrt{5}}{16} - \frac{(15\sqrt{5}+12)}{16}

    =15516516=\frac{15\sqrt{5}}{16} - \frac{\sqrt{5}}{16}

    =1516=\frac{15}{16}

    Es que c'est bon ?

    J'arrive pas répondre à << Que constatez-vous ?? >>



  • Bin non c'est pas bon !!! il y a quelques oublis !!!

    cos(2a) = 2cos²a - 1

    cos(2a),=,2,(5,,14)2,,1cos(2a),=, 2,\left( \frac{\sqrt{5},-,1}{4}\right)^2 ,-,1 cela change tout !! non

    cos(2a),=,2,(5,,1)242,,1cos(2a),=, 2, \frac{(\sqrt{5},-,1)^2}{4^2} ,-,1 etc ...



  • $cos(2a) = 2[\frac{(\sqrt{5}-1)}{4}]²$

    cos2(a)=[5+116]1cos 2(a) = [ \frac{5+1}{16} ] - 1

    cos2(a)=[616]1cos 2(a) = [ \frac{6}{16} ] - 1

    cos2(a)=[1216][1616]cos 2(a) = [ \frac{12}{16} ] - [ \frac{16}{16} ]

    cos(2a)=[416]cos(2a) = [ \frac{-4}{16} ]

    cos(2a)=[14]cos(2a) = [ \frac{-1}{4} ]

    Et là es que c'est bon ??



  • mais non
    (√5 - 1)² = 5 -2√5 + 1 = 6 - 2√5

    Tu gardes la √5



  • Alors ça fait: cos (2a) = 6-2√5 = 4√5

    C'est ça?



  • oula oula
    quand tu as 6-2√5 tu ne touches a rien c'est fini tu ne peux plus simplifier tu peux factoriser par 2 si tu veux mais c'est tout.

    on reprend
    cos(2a) = 2cos²a - 1

    1/tu me calcules cos²a soit
    ((√5-1)/4)²



  • cos²a = (√5-1)² / 4² = 6-2√5 / 16 = 2(3-√5) / 16

    Et là es que c'est bon?



  • oui très bien lol
    2(3-√5) / 16 = (3-√5) /8

    2/ ensuite tu multiplies par 2



  • 2(3-√5) /8 = 6-2√5/8

    C'est ça?

    Et cos(3a) il est bon?



  • 2(3-√5) /8 = (3-√5)/4

    Ce n'est pas fini

    3/ tu retranches 1



  • (3-√5)/4 - 1= (3-√5)/4 - 4

    = (3-√5-4) /4
    =(-1-√5) /4

    Et là c'est bon?



  • missdu62110
    (3-√5)/4 - 1= (3-√5)/4 - 4**/4**

    = (3-√5-4) /4
    =(-1-√5) /4

    Et là c'est bon?

    oui c'est bon



  • ok merci

    Et cos(3a) es que c'est bon ce que j'ai mis dans les précédents messages?



  • Et bien vu que tu ne savais pas calculer (√5-1)² je ne vois pas comment cela pourrait être juste ...



  • ok, je vais le refaire après avoir manger et je le posterais.Sinon comment on fait pour résoudre l'équation cos2x = cos 3x?



  • C'est grave en 1ère S de dire que
    Citation
    6-2√5 = 4√5

    depuis quand on a : 6 navets - 2 choux = 4 choux ?

    Pour répondre à : Résoudre cos2x = cos 3x il suffit de regarder son cours

    Comment on pourrait bien résoudre

    cos(x) = cos(α )



  • donc, cos(3a)= 4 cos³ a - 3 cos a

    = 4[ (-1-√5) /4 ]³ - 3[ (-1-√5) /4 ]

    = 4[ (-1-√5) /4 ]² * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    = 4[ (1+5) /16] * [ (-1-√5) /4 ] + [(3 + 3√5) /4]

    = (24/16) * [ (-1-√5) /4 ] + [(3 + 3√5) /4]

    = (24 - 24√5 /64) + [(3 + 3√5) /4] * 16

    = (-24 - 24√5 /64) +[ 48 + 48√5 /64 ]

    = [ (24-24√5 + 48√5) / 64 ]

    = ( -√5+48√5 /64 )

    Es que le calcul est bon? Si non dite moi où j'ai fait une erreur



  • = 4[ (-1-√5) /4 ]² * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    = 4[ (1+5) /16] ........ c'est déjà faux ici ; je n'ai pas regardé la suite !

    il me semble que (a + b)2b)^2 est différent de a2a^2 + b2b^2

    parce, quand même, tu sais que (-a - b)2b)^2 = (a + b)2b)^2



  • = 4[ (-1-√5) /4 ]² * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    = 4[(1+√5) /4 ]² * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    = 4[(1+5)² /4² ] * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    = 4[(6)² /4² ] * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    = 4[36 / 16 ] * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    = (144/16) * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    = [ (144 - 144√5)/ 64 ] + [ (48 + 48√5) /64 ]

    Cela est bon pour le moment ?



  • = 4[(1+√5) /4 ]² * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    = 4[(1+5)² /4² ] *****

    Toujours pas (1+√5)² n'est pas du tout mais pas du tout (1+5)² il faut que tu te rappelles des identités remarquables apprises au collège

    Pour t'en convaincre prends ta calculatrice et regarde ce que donne (1+√5)² ...n'oublie pas les ( ) et 6² trouves-tu la même approximation ?



  • Donc ça fait:

    = 4[(1+√5) /4 ]² * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    = 4[(1+2√5+5)² /4² ] * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    =4[(6+2√5)/16] * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    Es que le début est bon??



  • Cela me semble enfin bon comme début !



  • ok.Donc:

    =4[(6+2√5)/16] * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    =(24+8√5 /16) * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    =(32√5 /16) * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    Et là?



  • ok.Donc:

    =4[(6+2√5)/16] * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    =(24+8√5 /16) * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    =(32√5 /16) * [ (-1-√5) /4 ] + [ (3 + 3√5) /4 ]

    Et là?



  • Pourquoi faire 4(a/16) = 4a/16 alors qu'il est plus simple de faire

    4(a/16) = 4a/16 et non 4(a/16) = 4a/4*4 = a/4 ??? tu aimes te compliquer la vie !

    et puis 24 + 8√5 soit 24choux + 8navets ne valent toujours pas 32navets !!!!

    Tu relis quelque fois ce qu'on t'écrit plus haut ? et tu n'en tires pas de conclusion sur les fautes que tu commets ?

    24+8√5 n'est pas 32√5 comme 6-2√5 n'est pas 4√5 ....


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