Equation second degré



  • J'ai un problème en math : c'est pour un équat° du second degré.
    Sur un livre j'ai vu ceci :

    ax²+bx+c=a(x²+bx/a+c/a).
    Or (x+b/2a)²=x²+bx/a+b²/4a².
    Donc ax²+bx+c=a(x²+bx/a)-b²/4a²+c/a.

    Jusque ici, je suis daccord.
    Mais là je bloque => ils continuent en face
    =a(x²+bx/a)-(b²-4ac)/4a²

    C'est ça que je ne comprends pas ==> dans las 2nd parenthèse, entre b² et 4ac ils mettent un "moins" ( - ).
    Pour moi ce serait un "plus" et non un moins.

    SVP explique-moi vite !!! (#_#)


  • Modérateurs

    Salut.

    Je n'ai pas regardé le calcul, mais je reconnait la mise sous forme canonique d'un trinôme. b²-4ac représente le discriminant ∆.

    Je refais le calcul.

    On a un trinôme de la forme ax²+bx+c.

    ax²+bx+c
    =a*[x² + (b/a)x + (c/a)]
    =a*[ (x+b/(2a))² + (c/a) - b²/(4a²)]
    =a*[ (x+b/(2a))² - (b²-4ac)/(4a²)]
    =a*[ (x+b/(2a))² - ∆/(4a²)]

    Le calcul qui t'embête c'est:

    (c/a) - b²/(4a²)
    =(4ac)/(4a²) - b²/(4a²) => on met au même dénominateur
    =(4ac-b²)/(4a²)
    =-(b²-4ac)/(4a²)

    Voilà. Il faut juste remarquer que 4ac-b²=-(b²-4ac) .


    De la forme canonique on retrouve les bases de la résolution des équations du 2nd degré:

    ax²+bx+c=a*[ (x+b/(2a))² - ∆/(4a²)] avec ∆=b²-4ac

    On cherche quand l'expression s'annule:

    a*[ (x+b/(2a))² - ∆/(4a²)] = 0
    (x+b/(2a))² - ∆/(4a²) = 0 => car a≠0
    (x+b/(2a))² = ∆/(4a²)

    Donc vu que le membre de gauche est positif ou nul, que 4a²>0, si:

    • ∆<0, l'équation ne peut avoir de solution dans lR(un carré(membre de gauche) n'est jamais strictement négatif).

    • ∆=0, l'équation possède une unique solution dans lR:

    Il faut (x+b/(2a))²=0, donc x=-b/(2a).

    • ∆>0, l'équation possède 2 solutions dans lR(cf. la fonction x→x²):

    (x+b/(2a))² = ∆/(4a²)
    x+b/(2a) = ±√(∆)/(2a) => on passe à la racine.

    Et x=(-b±√(∆))/(2a).

    @+


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