Périodes et dérivées(DM de math)



  • Bonjour tout le monde.Voilà je viens de commencé l'exercice de mon dm et je voudrais savoir si le début est bon.

    Soit f fonction définie sur ℜ par f(x) = cos 2x - 2 cosx

    1)Montrer que f est périodique de période 2pi

    2)montre que f est dérivable sur ℜ et qu'en tout x appartenant à R on a :
    f'(x) = 2sin x ( 1- 2 cosx)

    1. Résolvez l'équation f'(x)=0 dans l'intervalle [-pi;pi]

    4)Récopiez et complétez ce qui suit en vous servant du cercle trigonométrique:
    a) -pi <x< 0 ⇔ ....< Sin x <....

    b) 0 <x< pi ⇔ ....< Sin x <....

    c) -pi <x< -pi /3 ⇔ ....< Cos x <.... ⇔ ....< 1-2 cos x <....

    d) -pi /3 <x< -pi ⇔ ....< Cos x <.... ⇔ ....< 1-2 cos x <....

    e) pi /3 <x< pi ⇔ ....< Cos x <.... ⇔ ....< 1-2 cos x <....

    5)Utiliser ce qui précède pour établir le tableau de variation de f sur [-pi;pi]

    Voilà ce que j'ai fait:

    1)Pour tout x ∈ ℜ , f(x+2 pi) = cos 2(x+2pi) - 2cos(x+2pi)

    = cos 2x - 2 cosx
    =f(x)

    Donc elle est péridique de période 2pi

    2)- Comme la fonction cos x est dérivable sur ℜ
    Alors si on le multiplie par 2 la dérivabilité de la fonction ne change pas
    Donc x ---> cos 2x est dérivable sur R

    Comme la fonction cos x est dérivable sur ℜ
    Alors si on le multiplie par -2 la dérivabilité de la fonction ne change pas
    Donc x ---> -2 cos x est dérivable sur ℜ

    Par conséquent,la fonction f est dérivable sur ℜ

    • f(x) = cos 2x - 2 cos x

    -2 cos x = -2 * cos x
    donc (-2 cosx )' = - 2 * -sinx
    =2sin x

    cos 2x = cos²x- sin² x
    donc (cos 2x)' = 2* cos x - 2 sin x

    donc:f'(x) = 2 cos x - 2 sin x - 2sin x
    = 2 sin x - (2 cos x - 2 sin x)
    = 2 sin x - 2 cos x + 2sin x
    = 2 sin x (1- 2sin x)

    Donc f'(x) = 2 sin x (1- 2sin x)

    Es que pour le moment c'est bon ??



  • coucou

    (cos 2x)' = 2* cos x - 2 sin x
    certainement pas

    pas besoin de changer (cos 2x) en (cos²x- sin² x)

    regarde ton cours (cos u)' = -u'sin u



  • Ok merci.Le reste est bon alors ??



  • oui quoique je trouve ta première question vite expédiée mais bon ...
    si tu arrives a me trouver la bonne dérivée oui ce sera bon



  • Je comprend pas la question pouvez-vous m'expliquer svp



  • ba il n'y a pas de questions en fait
    Pour ta réponse 1/ je trouve que tu as vite expédié la chose ton truc fait deux lignes c'est léger

    j'aimerais que tu me donnes la dérivée la bonne



  • Il y a déjà un souci dans la démonstration de la périodicité

    Pour tout x ∈ ℜ , f(x+2pi) = cos 2(x+2pi) - 2cos(x+2pi) = cos(2x+4pi) - 2cos(x+2pi)

    or cos(2x + 4pi) = cos(2x) parce que ???
    et cos(x+2pi) = cox(x) parce que ????
    donc .....
    il ne faut pas oublier des étapes dans les démonstrations et avoir + de rigueur dans l'écriture



  • ben dsl mais on a pas fait d'exercice sur ça.Le prof a fait vite fait la démnostration donc voilà peux-tu m'expliquer stp



  • cos(x+2π) = cos(x) parce que la fonction cos est périodique de période 2π
    cos(2x + 4π) = cos(2x) parce que la fonction cos est périodique de période 2π

    Donc maintenant tu as le droit de conclure que f(x+2π) = f(x)

    Au fait : as-tu remarqué qu'il y a des "trucs" sous le cadre de saisie dont le symbole π et puis des autres qu'on trouve en cliquant sur le bouton "Smilies mathématiques" ou "Lettres grecques" à défaut de te mettre au LaTeX qui n'est pas si incompréhensible que cela grâce au visualisateur dans le cadre de gauche


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