Plan



  • Bonjour tout le monde,
    Voila un exercice qui me pose probleme :

    1.On a le pan P passant par le point B(1;-2;1) et de vecteur normal n(-2;1;5)
    et le plan R d'equation cartésienne x + 2y - 7 = 0
    a) Démontrer que les plans P et R sont perpendiculaires.
    b)Démontrer que l'intersection des plan P et R est la droite Λ passant par le point C(-1;4;-1) et de vecteur directeur u(2;-1;1)

    Pour le a) j'ai trouvé mais pour le b) je voie pas.
    Merci de votre aide.



  • Salut,

    il faut que tu fasses un sytème avec les équations des 2 plans pour pouvoir obtenir une représentation paramétrique de la droite recherchée. Et ensuite tu montreras en te servant des coordonnées de C que ce point appartient à la fois à P, à R et à cette droite.



  • Est ce que c'est bon si je fais :
    Equation cartésienne de P :
    -2(1) + 1(-2) +5(1) + d =0
    donc d=-1
    => P : -2x + y + 5z -1=0

    Vérifions que C vérifie les equations :
    P : -2(-1)+4+5(-1)-1=0
    R : -1+2(4)-7 =0
    Donc C vérifie les équations

    Vérifions que u(2;-1;1) est orthogonal à n(-2;1;5) et à n'(1;2;0)
    u.n=-4-1+5=0
    u.n'=2-2=0
    Donc l'intersection de P et R est la droite ∧.



  • Pour ce qui est de l'appartenance de C à P, R et δ\delta, c'est juste.



  • Ca ne me paraît pas être une bonne démonstration. Voilà ce que j'aurais plutôt fait.

    On pose le système :
    $\begin \left{ \ 2x-y-5z+1=0\ x +2y -7=0 \right.$

    Ceci équivaut à :
    $\begin \left{ \ x=-2y+7\ 2(-2y+7)-y-5z+1=0 \right.$

    Ceci équivaut à :
    $\begin \left{ \ x=-2y+7\ -5y-5z+15=0 \right.$

    Ceci équivaut à :
    $\begin \left{ \ x=-2y+7\ y3=0 \right.$

    Ceci équivaut à :
    $\begin \left{ \ x=-2(3-z)+7\ y=3-z \right.$

    Ceci équivaut à :
    $\begin \left{ \ x=2z+1 \ y=3-z \right.$ $z \in \r$

    Maintenant, si on pose z= α\alpha, on obtient la représentation paramétrique de la droite qui est à l'intersection des plans P et R :

    $\begin \left{ \ x=1+2\alpha \ y=3-\alpha \ z=\alpha \right.$ $\alpha \in \r$

    Cette droite a pour vecteur directeur u\vec{u} de coordonnées (2;-1-1).



  • Merci



  • je t'en prie 😉


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