un autre exercice de recherche sur les barycentres



  • bonjour je dois faire un exercice de recherche sur les barycentres mais je suis un peu bloqué pourriez-vous m'aider?

    Soit ABCD un quadrilatère, les diagonales (AC) et (BD) se coupent en E.
    on note G1, G2, G3, G4 les centres de gravités respectifs des triangles ABE, ECB, EDC et EDA.

    1. démonter que G1G2G3G4 est un parallélogramme . On désigne par G son centre

    2. démonter que le point G est le barycentre des points (A,1) (B,1) (C,1) (D,1) (E,2)

    3. on note G5, G6, G7et G8 les centres de gravité respectifs des triangles ABD,BCD,ABC et ACD.
      démonter que les points G5, G6, G7, G8 appartiennent aux cotés du parallélogramme G1G2G3G4

    4. les demi-droites ( EA) (EB) (EC) et (ED) coupent les cotés du parallélogramme G1G2G3G4 respectivement aux points P6, P8,P5 et P7
      démonter que le point G est le milieu des segments (G5P5), (G6P6) , (G7P7), (G8P8)
      soit I, J,K,L,I1,J1,K1 et L1 les milieux respectifs des segments (AB), (BC), (CD), (DA) , (EI), (EJ) , (EK), et (EL).
      démonter que les droites (IK1), (JL1), (KL1) et (LJ1) se soupent au point G.

    merci d'avance pour votre aide pour la question 1 je pensais montrer que G était le milieu de G1G3 et de G4G2 et pour la question 2 je crois qu'il faut utiliser la règle d'associativité des barycentres.
    merci



  • Bonjour,

    Pour la 1 il faut montrer (par exemple) que G1G2^\rightarrow = G4G3^\rightarrow

    Avec B' milieu de [AE] et D' milieu de [AE] on a

    G1G2^\rightarrow = G1B^\rightarrow +BG2^\rightarrow et la place du centre de gravité sur la médiane tu dois vite arriver à kB'D'^\rightarrow

    Pour G4G3^\rightarrow = G4D^\rightarrow + DG3^\rightarrow même démonstration pour arriver à ce qui est voulu :

    Voici la figure que j'obtiens

    http://img358.imageshack.us/img358/8409/baryta7.jpg



  • merci de m'avoir aidé pour cette question pour la seconde suffit-il de dire que G étant le centre du parallélogramme G1G2G3G4 alors, il est l'isobarycentre des points (G1,1) (G2,1) (G3,1) (G4,1) donc il est le barycentre des points (A,1), (B,1), (C,1), (D,1) et (E,2) car ces points G1, G2, G3 et G4 sont les isobarycentres respectifs des triangles ABE, EBC, ECD, AED?



  • Je pense en effet que tu dois t'en sortir avec l'associativité des barycentres !

    Pour la suite tu as une idée ?



  • pour la suite je pensais montrer que G4G8=kG4G3 et pour les autres points aussi afin de monter que G8, G6, G5, et G7 appartiennent aux côtés du parallélogramme G1G2G3G4 mais je ne crois pas que ce soit cela, il doit y avoir une autre méthode plus habile et qui nécessite moins de décomposition. J'ai essayé de penser à d'autres solutions mais il est vrai qu' une fois ayant plaçé ces points sur la figure, elle devient vite inabordable alors , difficil de ne pas tomber dans le systhématisme de la colinéarité



  • Je pense en effet que la solution de la colinéarité semble la plus adaptée à la situation ! Je dois avouer que je n'ai pas trop cherché et que je ne sais pas si c'est vite trouvable !
    Sûrement en utilisant le fait que le centre de gravité est aux 2/3 de la médiane !



  • bonjour j'avais réussi à demontrer la question 3 mais j'ai perdu ma feuille et au bout d'une semaine je ne me rappel plus du tout comment j'y étais arrivé pourriez vous m'aider s'il vous plait
    merci d'avance
    peut-on montrer que G7G8G1G4 est un parallélogramme puis dire que comme G1G4=G7G8=G2G3 alors G7 et G8 appartiennent à (G4G3) et (G1G2)?



  • bonjour après avoir recherché je ne trouve plus aurriez-vous une idée s'il vous plait
    merci d'avance


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