Matrices & Suites



  • Bonjour !

    Je suis en première année BTS et j'ai du mal à comprendre une question qu'on me pose dans un exercice sur les matrices, voici le sujet :

    On considère la matrice a=(1amp;0amp;0 6amp;5amp;6 3amp;3amp;4 )a=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \ 6 & -5 & 6 \ 3 & -3 & 4 \ \end{array}} \right)

    Dans la première question il faut que je calcule A² et A³, j'ai réussi à le faire :

    a2=(1amp;0amp;0 6amp;7amp;6 3amp;3amp;2 )a3=(1amp;0amp;0 18amp;17amp;18 9amp;9amp;10 )a^2=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \ -6 & 7 & -6 \ -3 & 3 & -2 \ \end{array}} \right) \qquad a^3=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \ 18 & -17 & 18 \ 9 & -9 & 10 \ \end{array}} \right)

    1. On admet que pour tout entier naturel n non nul, il existe un nombre réel ana_n tel que AnA^n est de la forme :

    an=(1amp;0amp;0 2anamp;12anamp;2an anamp;anamp;1+an )a^n=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \ 2a_n & 1-2a_n & 2a_n \ a_n & -a_n & 1+a_n \ \end{array}} \right)

    Calculer An+1A^{n+1} = AnA^n × A. En déduire la relation : an+1a_{n+1} = 3 - 2an2a_n.

    Je ne comprends pas ce qu'il faut que j'écrive pour répondre, comme j'ai déjà calculé A² et A³ j'ai compris que ana_n = 9 mais je ne sais pas trop comment le prouver. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider, svp ?

    Merci d'avance.

    EDIT de J-C : mise en LaTeX des matrices.


  • Modérateurs

    Salut.

    Tu peux essayer de démontrer ce résultat par récurrence par exemple. 😄

    @+



  • En quoi consiste cette méthode ? Je ne me souviens pas avoir étudié cette notion mais peut-être que si je vois comment elle fonctionne ça me rappellera quelque chose


  • Modérateurs

    Salut.

    Tu n'as jamais vu un raisonnement qui se présente de la manière suivante ?

    Soit P(n) la propriété "...", n∈lN.

    • P(0) est vraie.
    • Supposons P(n) vraie pour un n donné. P(n) => P(n+1).
      Le principe de récurrence étant vérifié, P(n) est vraie pour tout n∈lN.

    Exemple :

    Soit une suite (un(u_n) définie par u0u_0=1 et un+1u_{n+1} = 2un2u_n.
    Le but est de démontrer que pour tout n∈lN, unu_n = 2n2^n.

    Montrons ce résultat par récurrence.

    Soit P(n) la propriété "unu_n = 2n2^n", n∈lN.

    • 22^0=1=u0=1=u_0, donc P(0) est vraie.
    • Supposons P(n) vraie pour un n donné.
      un+1u_{n+1} = 2un2u_n = 22n2*2^n = 2n+12^{n+1}, donc P(n) => P(n+1).

    Le principe de récurrence étant vérifié, P(n) est vraie pour tout n∈lN.

    As-tu compris ? 😄

    @+



  • ok mais cette méthode va me servir à calculer An+1A^{n+1} = AnA^n × A ou à déduire la relation an+1a_{n+1} = 3 - 2an2a_n ou les deux ?
    j'ai essayé quelque chose :
    Soit P(n) la propriété "An+1A^{n+1} = AnA^n × A"
    A1A^1 × A = A² = An+1A^{n+1} donc P(1) est vraie
    Supposons P(n) vraie pour un n donné
    AnA^n × A = An+1A^{n+1}

    déjà je pense que ce que j'ai écrit plus haut est faux mais ensuite je n'arrive pas à faire la même chose que dans l'exemple que vous m'avez donné, j'ai essayé de faire ana_n × a = 3 - 2an2a_n mais c'est complètement faux :frowning2: en plus je crois que je m'embrouille je ne sais plus si à ce moment là on parle de ana_n ou de ana^n


  • Modérateurs

    Salut micmac,
    Non ana_n n'est pas égal à 9, c'est a3a_3 qui est égal à 9 (par rapport à ton premier mesage).
    En fait pour ce qu'on te demande tu n'as même pas besoin de faire de récurrence.
    Tu as la forme de AnA^n en fonction de ana_n. Il te suffit de multiplier à droite AnA^n par A et tu vas obtenir An+1A^{n+1} dans laquelle la première ligne sera 1 0 0 et les autres lignes s'exprimeront en fonction de ana_n.
    Il te suffit alors de constater que An+1A^{n+1} est de la même forme que AnA^n et d'en déduire an+1a_{n+1} (que tu pourras tout simplement lire à la troisième ligne de la première colonne).
    Effectivement tu t'étais embarqué dans une mauvaise piste.



  • Ok super merci j'ai réussi à répondre ! 😁
    J'ai presque fini mon exercice il ne me reste qu'une seule question où je bloque un peu, est-ce que vous pourriez m'aider svp ?
    Dans les questions qui ont suivi, on m'a donné la suite géométrique (bn(b_n) définie pour tout entier n non nul par : bnb_n = a n_n - 1
    j'ai réussi à trouver son premier terme b1b_1 = a1a_1 - 1 = 3 - 1 = 2 et sa raison q = 2
    j'ai également exprimé bnb_n et ana_n en fonction de n :
    bnb_n = b1b_1.qnq^n = 2.2n2^n et ana_n = bnb_n + 1 d'où ana_n = 1+2.2n2^n
    (j'espère ne pas m'être trompé)

    Mais maintenant on me demande d'en déduire AnA^n en fonction de n et je sèche un peu... est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer le chemin à suivre ?
    Mille mercis d'avance



  • svp c'est la dernière question j'aimerais beaucoup qu'on m'aide pour que je puisse finir mon devoir :rolling_eyes: pouvez-vous me conseiller ? je ne pense pas que ce soit simple au point de remplacer bnb_n = ana_n - 1 par BnB_n = AnA_n - 1 ?


  • Modérateurs

    Salut.

    Ben il est fini le problème. Tu as AnA^n en fonction de ana_n, tu as ana_n en fonction de n, donc il suffit de remplacer les ana_n dans l'expression de AnA^n. 😄

    an=(1amp;0amp;0 2anamp;12anamp;2an anamp;anamp;1+an ) et an=1+2n+1a^n=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \ 2a_n & 1-2a_n & 2a_n \ a_n & -a_n & 1+a_n \ \end{array}} \right) \text{ et } a_n = 1+2^{n+1}

    @+



  • a ok merci ! mais alors est-ce que ça veut dire que je me suis trompé pour ana_n ? parce que j'ai trouvé ana_n = 1+2.2n2^n dans mon message plus haut 😕 (par rapport à ce que vous venez d'écrire : ana_n = 1+2n+11+2^{n+1})


  • Modérateurs

    Salut.

    Elle est où la différence ? 22n2*2^n = 2n+12^{n+1} normalement.

    @+



  • a oui c'est vrai oups !! merci pour toute votre aide ! 😄


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