Matrices & Suites

Bonjour !

Je suis en première année BTS et j'ai du mal à comprendre une question qu'on me pose dans un exercice sur les matrices, voici le sujet :

On considère la matrice $)a=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \ 6 & -5 & 6 \ 3 & -3 & 4 \ \end{array}} \right)$

Dans la première question il faut que je calcule A² et A³, j'ai réussi à le faire :

$)a^2=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \ -6 & 7 & -6 \ -3 & 3 & -2 \ \end{array}} \right) \qquad a^3=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \ 18 & -17 & 18 \ 9 & -9 & 10 \ \end{array}} \right)$

On admet que pour tout entier naturel n non nul, il existe un nombre réel $a_n$ tel que $A^n$ est de la forme :

$)a^n=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \ 2a_n & 1-2a_n & 2a_n \ a_n & -a_n & 1+a_n \ \end{array}} \right)$

Calculer $A^{n+1}$ = $A^n$ × A. En déduire la relation : $a_{n+1}$ = 3 - $2a_n$ .

Je ne comprends pas ce qu'il faut que j'écrive pour répondre, comme j'ai déjà calculé A² et A³ j'ai compris que $a_n$ = 9 mais je ne sais pas trop comment le prouver. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider, svp ?

Merci d'avance.

EDIT de J-C : mise en LaTeX des matrices.

Salut.

Tu peux essayer de démontrer ce résultat par récurrence par exemple.

@+

En quoi consiste cette méthode ? Je ne me souviens pas avoir étudié cette notion mais peut-être que si je vois comment elle fonctionne ça me rappellera quelque chose

Salut.

Tu n'as jamais vu un raisonnement qui se présente de la manière suivante ?

Soit P(n) la propriété "...", n∈lN.

P(0) est vraie.
Supposons P(n) vraie pour un n donné. P(n) => P(n+1).
Le principe de récurrence étant vérifié, P(n) est vraie pour tout n∈lN.

Exemple :

Soit une suite $u_n$ ) définie par $u_0$ =1 et $u_{n+1}$ = $2u_n$ .
Le but est de démontrer que pour tout n∈lN, $u_n$ = $2^n$ .

Montrons ce résultat par récurrence.

Soit P(n) la propriété " $u_n$ = $2^n$ ", n∈lN.

$2$ ^0 $1=u_0$ , donc P(0) est vraie.
Supposons P(n) vraie pour un n donné.
$u_{n+1}$ = $2u_n$ = $2*2^n$ = $2^{n+1}$ , donc P(n) => P(n+1).

Le principe de récurrence étant vérifié, P(n) est vraie pour tout n∈lN.

As-tu compris ?

@+

ok mais cette méthode va me servir à calculer $A^{n+1}$ = $A^n$ × A ou à déduire la relation $a_{n+1}$ = 3 - $2a_n$ ou les deux ?
j'ai essayé quelque chose :
Soit P(n) la propriété " $A^{n+1}$ = $A^n$ × A"
$A^1$ × A = A² = $A^{n+1}$ donc P(1) est vraie
Supposons P(n) vraie pour un n donné
$A^n$ × A = $A^{n+1}$

déjà je pense que ce que j'ai écrit plus haut est faux mais ensuite je n'arrive pas à faire la même chose que dans l'exemple que vous m'avez donné, j'ai essayé de faire $a_n$ × a = 3 - $2a_n$ mais c'est complètement faux :frowning2: en plus je crois que je m'embrouille je ne sais plus si à ce moment là on parle de $a_n$ ou de $a^n$

Salut micmac,
Non $a_n$ n'est pas égal à 9, c'est $a_3$ qui est égal à 9 (par rapport à ton premier mesage).
En fait pour ce qu'on te demande tu n'as même pas besoin de faire de récurrence.
Tu as la forme de $A^n$ en fonction de $a_n$ . Il te suffit de multiplier à droite $A^n$ par A et tu vas obtenir $A^{n+1}$ dans laquelle la première ligne sera 1 0 0 et les autres lignes s'exprimeront en fonction de $a_n$ .
Il te suffit alors de constater que $A^{n+1}$ est de la même forme que $A^n$ et d'en déduire $a_{n+1}$ (que tu pourras tout simplement lire à la troisième ligne de la première colonne).
Effectivement tu t'étais embarqué dans une mauvaise piste.

Ok super merci j'ai réussi à répondre !
J'ai presque fini mon exercice il ne me reste qu'une seule question où je bloque un peu, est-ce que vous pourriez m'aider svp ?
Dans les questions qui ont suivi, on m'a donné la suite géométrique $b_n$ ) définie pour tout entier n non nul par : $b_n$ = a $_n$ - 1
j'ai réussi à trouver son premier terme $b_1$ = $a_1$ - 1 = 3 - 1 = 2 et sa raison q = 2
j'ai également exprimé $b_n$ et $a_n$ en fonction de n :
$b_n$ = $b_1$ . $q^n$ = 2. $2^n$ et $a_n$ = $b_n$ + 1 d'où $a_n$ = 1+2. $2^n$
(j'espère ne pas m'être trompé)

Mais maintenant on me demande d'en déduire $A^n$ en fonction de n et je sèche un peu... est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer le chemin à suivre ?
Mille mercis d'avance

svp c'est la dernière question j'aimerais beaucoup qu'on m'aide pour que je puisse finir mon devoir :rolling_eyes: pouvez-vous me conseiller ? je ne pense pas que ce soit simple au point de remplacer $b_n$ = $a_n$ - 1 par $B_n$ = $A_n$ - 1 ?

Salut.

Ben il est fini le problème. Tu as $A^n$ en fonction de $a_n$ , tu as $a_n$ en fonction de n, donc il suffit de remplacer les $a_n$ dans l'expression de $A^n$ .

$an=1+2n+1a^n=\left( {\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \ 2a_n & 1-2a_n & 2a_n \ a_n & -a_n & 1+a_n \ \end{array}} \right) \text{ et } a_n = 1+2^{n+1}$

@+

a ok merci ! mais alors est-ce que ça veut dire que je me suis trompé pour $a_n$ ? parce que j'ai trouvé $a_n$ = 1+2. $2^n$ dans mon message plus haut (par rapport à ce que vous venez d'écrire : $a_n$ = $1+2^{n+1}$ )

Salut.

Elle est où la différence ? $2*2^n$ = $2^{n+1}$ normalement.

@+

a oui c'est vrai oups !! merci pour toute votre aide !