exercice démonstration equation différentielle



  • Bonjour tout le monde voilà j'ai un exercice à faire et j'arrive pas du tout à le commencer alors je vien chercher de l'aide auprès de vous ! Pouriez-vous m'aider à commencer cet exo merci beaucoup d'avance ! 😄

    Voilà l'énoncée :
    λ ∈ mathbbRmathbb{R} λ∈]0;1]

    1. On veut étudier les fonctions dérivables sur ]-∞;1/2[ vérifiant l’équation
      différentielle (Eλ ) : y′ = y² +λy et la condition y(0) = 1.
      On suppose qu’il existe une solution y0 de (Eλ ) strictement positive sur ]-∞;1/2[ et on pose sur ]-∞;1/2[ : z = 1/ y0

    Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

    1. Les solutions de l’équation différentielle y′ = −λy sont les fonctions x →CeλxCe^{-λx} où C est une constante réelle.

    a. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différentielle
    (E’λ ) : z′ = −(λz +1) telle que z(0) = 1.

    b. Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z0.

    On veut maintenant montrer que la fonction z0 ne s’annule pas sur l’intervalle
    ]-∞;1/2[

    1. a. Démontrer que ln(1+λ ) > λ(λ+1)

    On pourra étudier sur ]0 ; 1] la fonction f définie par f(x) = ln(1+x)−x/(x+1)

    b. En déduire que 1/λ*ln(1+λ ) > 1/2

    1. En déduire que la fonction z0 ne s’annule pas sur ]-∞;1/2[

    Démontrer alors que (Eλ ) admet une solution strictement positive sur ]-∞;1/2[
    que l’on précisera.

    donc voilà mon premier problème je ne sais pas comment trouver une equa. diff avec un y²



  • voilà ce que j'ai fais pour le 2 a)

    (E’λ ) : z′ = −(λz +1)

    z'= -λz-1

    z= CeλxCe^{-λx} - 1/λ

    z(0)=1

    1 = Ceλ0Ce^{-λ0}-1/λ
    1+1/λ = C
    (λ+1)/λ = C

    C'est juste ou je me trompe ? 😕



  • j'ai oublié de mettre le résultat lol !

    donc z= (1+λ)/λeλx*e^{-λx} - 1/λ



  • Bonjour,

    pour la 1)
    z = 1/y01/y_0 donc z' = ??? donc quelle relation existe entre z' et z ?



  • je vois pas :frowning2:



  • tu sais quand même donner une expression de z'



  • Bonjour ma chère zoé
    Voila la réponse à la première question, il suffit juste de remplacer:
    y0 vérifie l'équation donc y0' = y0² + λy0 or z = 1/y0 d'ou y0 = 1/z
    donc je remplace: (1/z)' = (1/z)² + λ(1/z)
    Sachant que (1/z)' = (-z'/z²) on a: (-z'/z²) = 1/z² + λ/z
    -z'/z² = (1 + λz)/z²
    d'ou -z' = 1 + λz
    et z' = -(λz + 1)
    Bonne journée!!



  • merci beaucoup ! Est ce que je pourrais savoir si mon expression de z0 est bonne parce que pour faire la suite de l'exo je crois que j'en ai besoin 😕

    z0= (λ+1)/λeλx*e^{-λx}-1/λ

    merci d'avance



  • Voilà ce que j'ai fais pour le 3 a) pour démontrer que zo ne s'annule pas

    (λ+1)/λ*e-λx-1/λ >0

    ln((λ+1)/λeλx*e^{-λx})- ln(1/λ ) > ln(0)

    ln((λ+1)/λ ) - λ + ln(λ/1) > 1

    ln(λ+1) - ln(λ ) - ln(1) + ln(λ ) > 1

    ln(λ+1) + ln (λ/(λ+1)) >1

    et là je suis bloquée je sais pas si j'ai fais une erreur ou que je suis mal partie 😕



  • help je m'embrouille :frowning2:



  • Rebonjour tout le monde ! Me revoila lol hélas pour vous 😆 pourriez vous me dire si ce que j'ai fais est juste svp 😕 merci beaucoup d'avance



  • Bonjour, j'espère que ma réponse t'a aidé!!
    Pour la question 3a) tu t'embrouilles en effet... 😄
    En tout cas ton z0 est juste c'est déjà bien.
    Pour cette fameuse question 3a), on te demande d'étudier sur [0 , 1] une fonction, l'as-tu fait? Car c'est grâce à celle-ci que tu pourras démontrer que ln(1 + λ ) > λ/(1 + λ ) et non λ(1 + λ ) comme tu l'as marqué (moi ça m'a embrouillé en tout cas 😄 )
    Je te conseille donc de faire ça et si tu n'y arrive vraiment je te donnerais la réponse mais essaye par toi même d'abord... bon courage 😉



  • Est cce que vous trouvez F'(x) = 0 ..? pour l'étude de la fonction dans la 3)a) ..?



  • salut

    tu n'aurais pas un conflit de notations F, ou f ? faisons comme si c'était f.

    f(x) = ln(1+x)−x/(x+1) à dériver

    donne

    f'(x) = 1/(x+1) - [(x+1) - x]/(x+1)²

    c'est-à-dire

    f'(x) = 1/(x+1) - 1/(x+1)² = x/(x+1)².



  • Haaaa Merci beaucoup Zauctore ! 😄



  • Donc f'(x) du signe de x..? pour x∈ ]-∞;-1[ , f'(x)<0
    et pour x∈ ]-1;+∞[, f'(x)>0
    et f décroissant sur ]-∞,-1[
    et f croissant sur ]-1,+∞[

    ?



  • re.

    l'étude a lieu sur ]0 ; 1] où f est croissante.

    de plus f(0) = 0, donc...


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