exercice démonstration equation différentielle

Bonjour tout le monde voilà j'ai un exercice à faire et j'arrive pas du tout à le commencer alors je vien chercher de l'aide auprès de vous ! Pouriez-vous m'aider à commencer cet exo merci beaucoup d'avance !

Voilà l'énoncée :
λ ∈ $mathbb{R}$ λ∈]0;1]

On veut étudier les fonctions dérivables sur ]-∞;1/2[ vérifiant l’équation
différentielle (Eλ ) : y′ = y² +λy et la condition y(0) = 1.
On suppose qu’il existe une solution y0 de (Eλ ) strictement positive sur ]-∞;1/2[ et on pose sur ]-∞;1/2[ : z = 1/ y0

Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

Les solutions de l’équation différentielle y′ = −λy sont les fonctions x → $Ce^{-λx}$ où C est une constante réelle.

a. Démontrer l’existence et l’unicité de la solution z de l’équation différentielle
(E’λ ) : z′ = −(λz +1) telle que z(0) = 1.

b. Donner l’expression de cette fonction que l’on notera z0.

On veut maintenant montrer que la fonction z0 ne s’annule pas sur l’intervalle
]-∞;1/2[

a. Démontrer que ln(1+λ ) > λ(λ+1)

On pourra étudier sur ]0 ; 1] la fonction f définie par f(x) = ln(1+x)−x/(x+1)

b. En déduire que 1/λ*ln(1+λ ) > 1/2

En déduire que la fonction z0 ne s’annule pas sur ]-∞;1/2[

Démontrer alors que (Eλ ) admet une solution strictement positive sur ]-∞;1/2[
que l’on précisera.

donc voilà mon premier problème je ne sais pas comment trouver une equa. diff avec un y²

voilà ce que j'ai fais pour le 2 a)

(E’λ ) : z′ = −(λz +1)

z'= -λz-1

z= $Ce^{-λx}$ - 1/λ

z(0)=1

1 = $Ce^{-λ0}$ -1/λ
1+1/λ = C
(λ+1)/λ = C

C'est juste ou je me trompe ?

j'ai oublié de mettre le résultat lol !

donc z= (1+λ)/λ $e^{-λx}$ - 1/λ

Bonjour,

pour la 1)
z = $1/y_0$ donc z' = ??? donc quelle relation existe entre z' et z ?

je vois pas :frowning2:

tu sais quand même donner une expression de z'

Bonjour ma chère zoé
Voila la réponse à la première question, il suffit juste de remplacer:
y0 vérifie l'équation donc y0' = y0² + λy0 or z = 1/y0 d'ou y0 = 1/z
donc je remplace: (1/z)' = (1/z)² + λ(1/z)
Sachant que (1/z)' = (-z'/z²) on a: (-z'/z²) = 1/z² + λ/z
-z'/z² = (1 + λz)/z²
d'ou -z' = 1 + λz
et z' = -(λz + 1)
Bonne journée!!

merci beaucoup ! Est ce que je pourrais savoir si mon expression de z0 est bonne parce que pour faire la suite de l'exo je crois que j'en ai besoin

z0= (λ+1)/λ $e^{-λx}$ -1/λ

merci d'avance

Voilà ce que j'ai fais pour le 3 a) pour démontrer que zo ne s'annule pas

(λ+1)/λ*e-λx-1/λ >0

ln((λ+1)/λ $e^{-λx}$ )- ln(1/λ ) > ln(0)

ln((λ+1)/λ ) - λ + ln(λ/1) > 1

ln(λ+1) - ln(λ ) - ln(1) + ln(λ ) > 1

ln(λ+1) + ln (λ/(λ+1)) >1

et là je suis bloquée je sais pas si j'ai fais une erreur ou que je suis mal partie

help je m'embrouille :frowning2:

Rebonjour tout le monde ! Me revoila lol hélas pour vous pourriez vous me dire si ce que j'ai fais est juste svp merci beaucoup d'avance

Bonjour, j'espère que ma réponse t'a aidé!!
Pour la question 3a) tu t'embrouilles en effet...
En tout cas ton z0 est juste c'est déjà bien.
Pour cette fameuse question 3a), on te demande d'étudier sur [0 , 1] une fonction, l'as-tu fait? Car c'est grâce à celle-ci que tu pourras démontrer que ln(1 + λ ) > λ/(1 + λ ) et non λ(1 + λ ) comme tu l'as marqué (moi ça m'a embrouillé en tout cas )
Je te conseille donc de faire ça et si tu n'y arrive vraiment je te donnerais la réponse mais essaye par toi même d'abord... bon courage

Est cce que vous trouvez F'(x) = 0 ..? pour l'étude de la fonction dans la 3)a) ..?

salut

tu n'aurais pas un conflit de notations F, ou f ? faisons comme si c'était f.

f(x) = ln(1+x)−x/(x+1) à dériver

donne

f'(x) = 1/(x+1) - [(x+1) - x]/(x+1)²

c'est-à-dire

f'(x) = 1/(x+1) - 1/(x+1)² = x/(x+1)².

Haaaa Merci beaucoup Zauctore !

Donc f'(x) du signe de x..? pour x∈ ]-∞;-1[ , f'(x)<0
et pour x∈ ]-1;+∞[, f'(x)>0
et f décroissant sur ]-∞,-1[
et f croissant sur ]-1,+∞[

?

re.

l'étude a lieu sur ]0 ; 1] où f est croissante.

de plus f(0) = 0, donc...