plan et barycentre



  • bonsoire a tous j'ai un exercice sur les plan et barycntres et je voudrais avoire une correction si vous pouriez me la donner je vous en serrais reconaissant.

    L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j;k).
    1°) Déterminer une équation du plan P passant par le point A (1, 0,1) et de vecteur normal n (-1;1;1)

    2°) Soit P' le plan d'équation x + 2y - z + 1 = 0 et M le point de coordonnées (0, 1, 1).
    a- Sachant que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur non nul normal à l'un est orthogonal à un vecteur non nul normal à l'autre, démontrer que les plans P et P' sont perpendiculaires.
    b- Calculer les distances d et d' du point M aux plans P et P' (*).

    3°) On considère la droite D intersection des plans P et P'.
    a- Vérifier que le point H (1/3;-1/3;2/3) est un point de D.
    b- Vérifier que MH² = d² + d'². Soient I et J les projetés orthogonaux de M sur P et P' respectivement Que peut-on en conclure pour le point M et la droite (D) ?

    4°) On considère deux points quelconques du plan P : B et E. Pour tout réel m non nul, on considère le point Gm barycentre du système : {04, m) ; (5 ; - 2) ; (E ; 2)}
    a- Trouver une relation entre les vecteurs AGm et BE.
    b- Dans cette question, on considère m = - 4.
    Soit R l'ensemble des points M du plan P qui vérifient : ||- 4MA - 2MB + 2ME|| = 4racine de 2
    Quel est l'ensemble R ?

    merci si quelqu'un pourait me donner une corection car je ni arrive pas [/u]



  • Bonjour

    1. Une équation d'un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0
      où le vecteur de coordonnées (a ; b ; c) est un vecteur normal.
      Une équation du plan P peut donc être - x + y + z + d =0
      Pour déterminer d, il faut se servir du point A, remplace chacune des coordonnées de A dans l'équation et tu trouveras d :
    • 1 + 0 + 1 + d = 0 ce qui fait d = 0.
      Autrement dit une équation de p est

    - x + y + z = 0

    a.
    Un vecteur normal de P est (-1 ; 1 ; 1 )
    Un vecteur normal de P' est (1 ; 2 ; -1)
    Voyons si ces deux vecteurs sont orthogonaux en calculant leur produit scalaire (xx' + yy' + zz')
    -1 x 1 + 1 x 2 + 1 x (-1) = -1 + 2 - 1 = 0
    Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors ils sont sont orthogonaux.
    Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux, et P et P' sont donc perpendiculaires.


 

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