plan et barycentre

[yoki]

bonsoire a tous j'ai un exercice sur les plan et barycntres et je voudrais avoire une correction si vous pouriez me la donner je vous en serrais reconaissant.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j;k).
1°) Déterminer une équation du plan P passant par le point A (1, 0,1) et de vecteur normal n (-1;1;1)

2°) Soit P' le plan d'équation x + 2y - z + 1 = 0 et M le point de coordonnées (0, 1, 1).
a- Sachant que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur non nul normal à l'un est orthogonal à un vecteur non nul normal à l'autre, démontrer que les plans P et P' sont perpendiculaires.
b- Calculer les distances d et d' du point M aux plans P et P' (*).

3°) On considère la droite D intersection des plans P et P'.
a- Vérifier que le point H (1/3;-1/3;2/3) est un point de D.
b- Vérifier que MH² = d² + d'². Soient I et J les projetés orthogonaux de M sur P et P' respectivement Que peut-on en conclure pour le point M et la droite (D) ?

4°) On considère deux points quelconques du plan P : B et E. Pour tout réel m non nul, on considère le point Gm barycentre du système : {04, m) ; (5 ; - 2) ; (E ; 2)}
a- Trouver une relation entre les vecteurs AGm et BE.
b- Dans cette question, on considère m = - 4.
Soit R l'ensemble des points M du plan P qui vérifient : ||- 4MA - 2MB + 2ME|| = 4racine de 2
Quel est l'ensemble R ?

merci si quelqu'un pourait me donner une corection car je ni arrive pas [/u]

[grenouillou]

Bonjour

1. Une équation d'un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0
   où le vecteur de coordonnées (a ; b ; c) est un vecteur normal.
   Une équation du plan P peut donc être - x + y + z + d =0
   Pour déterminer d, il faut se servir du point A, remplace chacune des coordonnées de A dans l'équation et tu trouveras d :

• 1 + 0 + 1 + d = 0 ce qui fait d = 0.
  Autrement dit une équation de p est

- x + y + z = 0

a.
Un vecteur normal de P est (-1 ; 1 ; 1 )
Un vecteur normal de P' est (1 ; 2 ; -1)
Voyons si ces deux vecteurs sont orthogonaux en calculant leur produit scalaire (xx' + yy' + zz')
-1 x 1 + 1 x 2 + 1 x (-1) = -1 + 2 - 1 = 0
Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors ils sont sont orthogonaux.
Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux, et P et P' sont donc perpendiculaires.