Singe et probabilité

Bonjour,

J'ai quelques problèmes pour résoudre mon exo de probabilité...Je vous met ce que j'ai compris et j'attend votre aide.

1)Un sainge cherche à ouvrir une porte avec un trousseau comportant 10 clés,dont une seule est adaptée à la serrure.Il teste les clés une à une,sans remise,jusq'uà l'ouverture de la porte.On note X le nombre de clés essayées.
a)Illustrer la situation par un arbre pondéré.
→Je pensais faire une échelle penchée selon y=-x avec la supression de tout une rembarde.
b)Déterminer la loi de probabilité de X.X suit elle une loi équirépartie?
→C'est la que je bloque,parce que je trouve que P(X=1)=1/10,P(X=2)=1/9,P(X=3)=1/8,P(X=4)=1/7 ... P(X=9)=1/2 et P(X=10)=1
Mais selon mon cour la somme des P(X=1ou2ou...ou9ou10) vaut 1. D'ou mon problème.
Ou alors j'ai mal compris un truc,parce que je répondrais justement que X ne suit pas une loi équirépartie et c'est mon problème qui en serait la justification.Help?
c)Combien d'essaus faut il au singe en moyenne pour ouvrir la porte.
→Ici je pense que c'est un calcul d'espérance,mais j(obtiens une espérance de 22...
J'ai aussi un problème parce que je ne sais pas dans quel univers on se place.Je dirais que ,soit J cet univers,J "représente" les clés et card J = 10.

Bon après l'exo continue mais il me semble que j'y arrive.
J'attends vos réponses.
Merci d'avance.

Bonjour,

Moi je verrai un arbre de cette forme :

Quand on prend un clé elle marche $m$ ou elle ne marche pas $mˉ\bar {m}$

Ceci n'est que le début il faut le continuer ...

Tu arrives mieux à répondre à tes questions ? Tiens nous au courant !

Merci bien.J'ai fais 2/3 petits trucs mais je sais pas si c'est bon^^.
J'avais dans l'esprit un arbre un peu près pareil,sans les probas 9/10,8/9...Donc faut^^.Sur de nouvelles bases:
1)b)(X=1) est l'événement "le singe a ouvert la porte avec la première clé" P(X=1)=1/10.
en faisant de jolie phrase je trouve que P(X=1 ou 2 ou... ou10 )=1/10.
Donc X suit une loi équirépartie.
c)Il faut 5,5 essais au singe en moyenne pour ouvrir la porte.

Ce raisonnement me va mais du coup je suis pas sur qyue la suite soit bonne.
On retrouve le singe dans de nouvelles aventures!
2)Un autre jour,le singe muni du même trousseau essaie à nouveau les clés une à une pour ouvrir la porte;mais ayant bu trop de lait de noix de coco,il procède à 10 essais sans mettre de coté les clés qu'il teste.Il effctue ainisi 10 tests d'une clé de façon indépendante.
a)Justifier que cette expérience aléatoire est un schéma de Bernoulli(préciser n et p).
→Après une jutification en règle, je trouve qu'on est dans un schéma de Bernoullli de paramètrep=1/10 et n=10.Est ce juste?
b)On désigne par Y la variable aléatoire qui associe aux 10 essais le rang de celui qui permet 'louverture de la porte si cela se produit et la valeur 11 dans la cas contraire.
*Y suit elle une loi binomiale?
→Oui car on a 11 pour échec et le numéro de celui qui ouvre la porte pour tous els autres "réussite".
*Déterminer la loi de Y
→Bah j'obtiens en gros le même truc que dans 1)b) d'ou mon problème...En plus quand x prend la valeur 11 je vois pas quelle proba associer...Je crois que tout viens du fait que je comprend pas très bie l'énoncé de 2)b).
*Quelle est la probabilité que laporte ne s'aouvre qu'au 9ème essai

Voilà,si vous avez le courage de m'aider^^.
Merci d'avance
Message un peu long,dsl

PS:en gros que le singe soit ivre ou pas j'ai l'impression que j'obitns la même chose...Y a un problème...

Un ptit coup de main?^^

En effet le 2ème situation est bien un schéma de Bernoulli car :

Un schéma de Bernoulli est constitué de n épreuves indépendantes qui ne comportent que deux issues appelées succès et échec, de probabilités respectives p et 1 – p.

Par contre je pense que Y n'est pas une variable aléatoire qui suit un tel shéma car :

X est la variable aléatoire qui, à chaque liste de n résultats, associe le nombre de succès suit une loi de probabilté de Bernouilli

Or ici Y ne donne pas le nombre de succès mais le rang du succès ou 11 ?

Que se passe-t-il quand le singe trouve plusieurs fois la bonne clé ? Quelle valeur prend Y ? J'opterais pour que Y prenne la valeur de la 1ère apparition de la bonne clé

Il essaye 10 clés prises parmi 10 avec remise et ordre. Donc il y a $10^{10}$ tirages possibles

Pour trouver P(Y=1) il faut compter combien il y a de tirages qui commencent par la bonne clé
il y en a $10^9$ donc P(Y=1) = $10^9$ / $10^{10}$ = 1/10

Pour P(Y=2) il faut compter combien il y a de bons tirages
Il y en a $10^9$ - le nombre de tirages commençant par la bonne et ayant la bonne en 2ème soit $10^8$
$10^9$ - $10^8$ = $10^8$ (10 - 1) = $9*10^8$ donc

P(Y=2) = $9*10^8$ / $10^{10}$ = 9 / $10^2$

Pour Y=3 il y en a $10^9$ - $10^8$ - $10^7$ = $89*10^7$

P(Y=3) = 89 / $10^3$ etc ....

P(Y=11) = 1 - la somme de toutes les autres

Arf,je comprends pas.
Tu supposes avant tout que Y prend la valeur de la première apparition.Et je suis pas sur de comprendre...
Quand tu mets qu'il y a 10^9 tirages possibles de la bonne clé en premier je comprends pas non plus...
Bon je continue à méditer.
Si vous trouvez un moyen de me faire comprendre^^.
Merci d'avance.

que P(X=1)=1/10 ,ça je comprend.

C'est comme si tu avais une urne avec 10 boules numérotées de 0 à 1

Combien de codes de 10 chiffres peux-tu faire ? de 0 000 000 000 à 9 999 999 999

soir $10^{10}$ cas possibles

Admettons que la bonne clé soit la clé 1 ! Combien y a t-il de codes avec un "1" en premier ? de 1 000 000 000 à 1 999 999 999 999 donc $10^9$ cas favorables

En fait j'ai l'impression que tu recherches que ce soit toujours la même clé qui sorte,mais pourquoi?Enfin je veux dire que j'ai pas l'impression que ce soit ça qui est demandé.J'arrête de flooder.

Merci beaucoup,j'ai compris,je crois.Je posterai un peu plus tard pour que tu me dises si je suis pas fou.
Merci encore

J'ai vraiment compris.
Mais j'ai l'impression que tu n'as traité qu'1 cas.
"2)Un autre jour,le singe muni du même trousseau essaie à nouveau les clés une à une pour ouvrir la porte;mais ayant bu trop de lait de noix de coco,il procède à 10 essais sans mettre de coté les clés qu'il teste.Il effctue ainisi 10 tests d'une clé de façon indépendante.
b)On désigne par Y la variable aléatoire qui associe aux 10 essais le rang de celui qui permet 'louverture de la porte si cela se produit et la valeur 11 dans la cas contraire.
*Déterminer la loi de Y"

Ce qui m'embête c'est que j'ai l'impression que je peux avoir d'autres résultats correspondant à l'énoncé en supposant par exemple que la bonne clé apparaisse seulement au 10ème essai (ce qui est aussi envisageable)et à ce moment là P(X=10)=1/(10^10).
On aurait alors P(X=1,2...9)=0 et P(X=11)=1 - la somme de tous les autres.

Non P(Y=2) = proba que la bonne clé (continuons à l'appeler 1) sorte en 2ème position .

Il faut trouver le nombre de cas favorables :

il faut donc compter combien il y a de codes avec un 1 en 2ème position il y a

de * *10 000 000 à * *19 999 999

avec les **qui peuvent être 00 02 03 .... 09 22 23 24 ...

Parmi les** possibles, il faut en effet enlever les 01 ; 10 ; 11 ; 12 ; .... 19 ; 21 ; 31 ; 41 ; .... ; 91 qui voudraient dire que la clé 1 est déja sortie avant la 2ème position ...

D'où mon $10^9$ - $10^8$

Si tous les P(Y=k) étaient égaux à 1/10 la somme de tous donnerait

10 x 1/10 = 1 donc P(Y=11) serait nul ! ... ce qui est impossible car il est fort probable qu'il ne trouve pas la bonne clé !

Bonjour,
Voila j'ai exactement le même sujet d'exercice et je ne comprends pas pourquoi zorro tu soustrais $10^9$ - $10^8$ - $10^7$ pour trouver le cardinal de Y= 3. Car j'ai eu un autre raisonnement on peut tres bien dire que dans le trousseau de 10 clés il y a 1 bonne (que tu nommes "1") et 9 mauvaises. Donc pour touver le cardinal de Y=3 je peux faire (d'apres la loi multiplicative) :
card (Y=3) = 9×9×1×10×10×10×10×10×10×10 = 9². $10^7$ = 8.1× $10^8$ . Mais on trouve pas le meme résultat.

Y'aurait-il âme qui vive ?

Je dois avouer que ce sujet date d'un certain temps et que je ne me souviens plus très bien de mon raisonnement de l'époque ! Et en ce moment j'ai tellement de choses à faire que je n'ai pas trop le temps de m'y remettre !

Peut être que quelqu'un d'avisé passera par là pour t'aider !

Tres bien je comprends tout à fait merci quand même.

Après correction avec ma prof en cours, jai eu quelque reponse.

En effet ce n'est pas une loi binomiale car la loi binomiale de parametre p = 1/10 et n = 10, dont les valeur vont de 0 à 10 ne corresponde pas à Y dont les valeur vont de 1 à 11.

Cest donc une suite dexperience independante ; p(Y = 9) = (1 - 1/10)^9-1 * (1/10)
Pour la derniere question on calcule en fait p(I) sachant E