Concours FESIC 2007

Bonjour à tous.
Je vais mettre les exercices qui sont tombés hier lors du concour FESIC.
Les premiers sont d'un niveau terminal "normal" (exigibles au bac) par contre les derniers sont plus corsés. Ils constituent de bons entrainements pour le bac car ils permettent de mettre en évidence les lacunes.

La calculatrice est interditemerci de jouer le jeu

Ce sont tous des vrai/faux il n'est pas besoin de justifier mais nous on va le faire ;).
le barème : 4 bonnes réponses 5 points _ 3 bonnes réponses 2 points _ 2 bonnes réponses 0 points _ 1 bonne réponse -2 points_ 0 bonne réponses -4 points
Il y a 16 exercices mais on ne doit en faire que 12 en 2h30

Exercice 1

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal $(o;u⃗;v⃗)(o;\vec{u};\vec{v})$ , on considère les points $a$ d'affixe $i$ , $m$ d'affixe $z$ et $m^{'}$ d'affixe $z^{'}$ avec $\ne z$ .

On appelle:
_ $h$ l'homothétie de centre $a$ et de rapport 2;

_ $r$ la rotation de centre $a$ et d'angle $π2\frac{\pi}{2}$ ;

_ $t$ la translation de vecteur $v⃗\vec{v}$ .

a) Si $m^{'} = h (m)$ , alors $z^{'} = 2 z - i$ .

b) Si $m^{'} = t (m)$ alors $z^{'} = z - i$ .

c) Si $m^{'} = r (m)$ , alors $a$ appartient à a médiatrice de $[m m^{'}]$ .

d) Soit $b$ le point d'affixe $4 - 3 i$ .
le point $b^{'} = r (b)$ a pour affixe $3 + 4 i$ .

Et voilà pour le premier (restitution du cours).
Si je vois que le topic a du succès je mettrai les autres

Exercice 2
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(o;u⃗;v⃗)(o;\vec{u};\vec{v})$ , on considère les points A et B d'affixes respectives $-\sqrt{5} +i\sqrt{15}$ et $2\sqrt{3} + 2i$ .

a) Soit $n∈nn\in n$ . Un argument de $a^n$ est $2nπ3\frac{2n\pi}{3}$ .

b) $o$ appartient à la médiatrice de $[a b]$ .

c) $o a b$ est un triangle rectangle en $o$ .

d) Le cercle circonscrit à $o a b$ a pour rayon 3.

Exercice 3
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(o;u⃗;v⃗)(o;\vec{u};\vec{v})$ , on considère les points $a$ et $b$ d'affixes respectives $1$ et $2 i$ .

On désigne par :
_ $(e)$ l'ensemble des points $m$ d'affixes $z$ telles que $∣ z - 2 i ∣ = ∣ z - 1 ∣$ ;
_ $(f)$ l'ensemble des points M, distincts de $a$ et de $b$ , d'affixes $z$ telles que $arg(z−2iz−1)=π2+2kπarg(\frac{z - 2i}{z-1}) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ , avec $\in z$ .

a) $(e)$ est un cercle.

b) Les points $m$ de $(f)$ décrivent un cercle sauf deux points.

c) Le point d'affixe $−12+12i\frac{-1}{2} +\frac{1}{2i}$ appartiennent à $(e)$ et $(f)$ .

d) (F) est aussi l'ensemble des points M tels que le complexe $\frac{z - 2i}{z - 1}$ soit un nombre imaginaire pur.

Sympa le topic y manque plus que les reponses ^^

lol
ok ba ça va venir alors ^^

C'est pas mal ^^ on attend la suite

Désolée pour le retard^^

Exercice 1
a)V
b)F
c)V
d)F

a) h est l'homothétie de centre A et de rapport 2
h : M(z) → M'(z')

alors z' - $z_A$ = 2 ( z - $z_A$ )
⇔ z' = 2z - $z_A$
⇔ z' = 2z - 2i + i
⇔
z' = 2z -i

b) t la translation de vecteur $v⃗\vec{v}$ avec $zv⃗z_{\vec{v}}$ = i

$tv⃗t_{\vec{v}}$ : M(z) → M'(z')

alors
z' = z + i

c) r la rotation de centre A et d'angle π/2

r : M(z)→ M'(z')

alors z' - $z_A$ = $eiπ2e^{i\frac{\pi}{2}}$ (z - $z_A$ )

donc $z′−zaz−za=eiπ2\frac{ z' - z_a}{z - z_a} = e^{i\frac{\pi}{2}}$

⇔ $z′−zaz−za=i\frac{ z' - z_a}{z - z_a} = i$

⇔ $am′am=∣z′−zaz−za∣=∣i∣=1\frac{am'}{am} = |\frac{ z' - z_a}{z - z_a} |= |i| = 1$

donc
AM' = AM

d) r la rotation de centre A et d'angle π/2

r : B(z)→ B'(z')

alors z' - $z_A$ = $eiπ2e^{i\frac{\pi}{2}}$ (z - $z_A$ )

⇔ z' = i (4-3i - i) +i
⇔ z' = 4i + 4 +i
⇔
z' = 5i + 4

Exercice 2

V
F
V
V

a) a = -√5 + i√15
On a |z| = 2√5
Soit θ = arg(a) est tel que

cos(θ ) = $−525=−12\frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{-1}{2}$

sin(θ ) = $1525=32\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

donc θ = $2π3+2kπ\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$
k ∈ $mathbb{Z}$

formule de cours $arg(z^n$ ) = n arg(z)

donc un argument de $a^n$ est $2nπ3\frac{2n\pi}{3}$

b) si O appartient à la médiatrice de [AB] on aurait

OA = OB
alors

$oaob=1\frac{oa}{ob} = 1$
or

$∣a∣∣b∣=∣−5+i15∣∣23+2i∣=∣i52∣≠1\frac{|a|}{|b|} = \frac{|-\sqrt{5}+ i \sqrt{15}|}{|2\sqrt{3} + 2i|} = |\frac{i\sqrt{5}}{2}|\ne 1$

--> contradiction

c) $(ob⃗;oa⃗)=arg(ab)=arg⁡(i52)=π2(\vec{ob};\vec{oa}) = arg(\frac{a}{b}) =\arg(\frac{i\sqrt{5}}{2}) = \frac{\pi}{2}$

donc OAB rectangle en O

d) Calcul de la distace AB
on sait que le triangle OAB est rectangle
donc AB² = OA² + OB²
AB² = (-√5)² + (√15)² + (2√3)² + 2² = 36
AB = 6
Le cercle circonscrit à OAB à pour diamètre 6 donc pour rayon 3

C(est parfait, merci beaucoup

zut. vous savez comment est ce que l'on fait pour consulter nous messages privés ?
Merci

Bon je vais mettre un peu les choses au clair ^^
Moi aussi j'ai passé le concours je suis aussi stréssée que vous donc la correction m'interesse également
je l'a fait en colaboration avec les autres modos pour être sure de ne pas dire n'importe quoi.
Je passe d'autres concours donc je vais mettre la correction du 3ème exercice mais jusqu'à mercredi prochain il n'y aura rien.
Je suis désolée mais n'oubliez pas que le concours est minoritaire face au dossier et à l'entretien (coeff 1/5 si je ne m'abuse...) alors on se calme ^^

mouè mouè...moi coeff 7..et j'ai pas d'entretien..et mon dossier...j'ai aux alentours de 10 ou 11..

Si vous voulez j'ai passé le concours aussi et jsuis pas trop trop mauvais en math (environ 16 de moyenne) jpourrai vous aidez a corriger

c sympa. bah demande les sujets. au pire je peux les scanner.demande à miumiu.

Toutes les bonnes volontés sont les bienvenues.

Si tu as envie de participer, tu as le droit de le faire. Il suffit que tu mettes ici les corrections qui manquent et que tu as envie de partager avec les autres.

Merci pour ceux qui en bénéficieront.

euh bas concernant le sujet je l'ai toujours sinon jveux bien poster les correction mais je suis pas sur qu'elle soit forcément correcte j'ai aussi passé le concours et je doute d'avoir fait un sans faute.

Poste tooujours on regardera si c'est juste ou non !

Les lecteurs sauront que tu n'est pas forcément sûr de toi mais ils seront reconnaissants de trouver quelqu'un qui a envie de les aider

ok ok alors jme lance ^^ jvais poursuivre avec l'exercice 4 jpense que miumiu s'occupe du 3

Exercice 4:

http://www.hebergement-images.com/06/1179412938_File0012.jpg

Désolé pour la qualité mon scanner est pas terrible et j'avais deja ecrit dessus alors j'ai du rectifier

Bon voila la correction maintenant ^^

Correction exercice 4:

a) Γ represente f ?
F est la primitive de f donc f est la dérivée de F logique jusque la....
Si Γ representait f, derivée de F, lorsque la fonction f s'annule en changeant de signe la courbe representant F devrait changer de variation. Prenons par exemple en $s q r t$ e) Γ passe par 0 en devenant positive. A ce moment la C la courbe representante de F devrait devenir croissante ce qui n'est pas le cas puisqu'elle l'est deja. On peut donc deja dire que la proposition est fausse. En effet lorsque C s'annule en 1 on observe que Γ passe de decroissante a croissante. C'est donc l'inverse Γ represente F et C represente f.

FAUX

b) F(x) = ∫[0,x] f(t) dt ? avec x ∈ $mathbb{R}$ +
ici on parle d'integrale et non d'aire donc il n'y a pas de souci de positivité de la fonction f.
∫[a,x] f(t) dt = F(x) - F(a) or ici F(0)=0 donc ∫[0,x] f(t) dt = F(x)

VRAI

c) Les deux aires hachurées sont égales?
on serait tenté de dire faut car f est negative entre 0 et 1 et positive apres mais on parle d'aire donc le signe ne change pas.
de plus : ∫[0,1] f(t) dt = F(1) et ∫[1, $s q r t$ e)] f(t) dt = F( $s q r t$ e)) - F(1)
F( $s q r t$ e)) = 0 donc les 2 aires sont égales.

VRAI

d) F est deux fois derivables en 0 et F''(0)=0 ?
Il y a deux proposition a vérifier : la derivabilité et la valeur de la derivée seconde en 0.
la derivée seconde reviendrai a la derivée premiere de f or on nous dit ici que la courbe representante C de f admet une tangente vertical en 0 donc F n'est pas deux fois derivable en 0 on peut deja s'arreter ici.

FAUX

Je ne suis pas sur à 100% de ton raisonnement...

arnaud405
Je ne suis pas sur à 100% de ton raisonnement...

Ben moi j'ai trouvé pareil et ca me fait 5/5 si c'est vrai ,alors ya t'il quelqu'un pour confirmer?

la premiere par exemple..rrRR

Salut.

4.a) Effectivement, en considérant les variations des courbes on en conclue que c'est faux.

4.b) Justement si on parlait d'intégrale tu n'aurais pas eu besoin de parler de la constante. C'est bien d'une primitive dont on parle (vu que le résultat dépend de x et par conséquent n'est pas constant), et selon la constante on peut parler de "la" primitive qui s'annule en 0. Donc ça m'a l'air vrai pour moi aussi.

4.c) On va écrire ça un peu plus proprement :

$f(e)=∫0ef(t)dt=∫01f(t)dt+∫1ef(t)dt=0f(\sqrt{e}) = \int_0^{\sqrt{e}} f(t) dt = \int_0^{1} f(t) dt + \int_1^{\sqrt{e}} f(t) dt = 0$

Donc les 2 aires sont égales, c'est vrai.

4.d) Déjà F admet une tangente horizontale en 0 et est continue, donc F est dérivable au moins une fois en 0.

f présentant une tangente verticale en 0 et y étant décroissante, cela signifie que $\text{\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=-\infty}$. Donc f n'est pas dérivable en 0 par définition : la limite du taux d'accroissement en 0 n'admet pas de limite finie.

On en déduit donc que F n'est pas deux fois dérivable en 0. La réponse est "faux".

@+

Exercice 3
F
F
V
F

a)
|z - 2i| = |z - 1|
⇔
|z - $z_B$ | = | z - $z_A$ |
⇔
BM = AM

(E) est la médiatrice de [BA]

b)
$arg⁡(z−2iz−1)=π2[2π]\arg(\frac{z-2i}{z-1}) = \frac{\pi}{2} [2\pi]$
⇔
$(am⃗;bm⃗)=π2[2π](\vec{am};\vec{bm}) = \frac{\pi}{2} [2\pi]$

on a ABM rectangle en M
(F) décrit un demi cercle privé de A et B
l'angle est orienté

moi non plus je n' aime pas comment je le formule
c)
AC² = $(−32)2+(12)2=52(\frac{-3}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{2}$

et

BC² = $(12)2+(−32)2=52(\frac{1}{2})^2 + (\frac{-3}{2})^2 = \frac{5}{2}$

AB² = 5

d'où C appartient à (F)

de plus

| $z_c$ - 2i | = $∣−12−i32∣|-\frac{1}{2} - i\frac{3}{2}|$

| $z_c$ -1| = $∣−32+12∣|\frac{-3}{2} + \frac{1}{2}|$

| $z_c$ - 2i | = | $z_c$ -1|

d) Si le rapport vaut -i l'argument vaut $−π2[2π]\frac{-\pi}{2} [2\pi]$

Effectivement ta correction jeet-chris est plus propre d'ailleurs comment tu fais pour ecrire les integrales comme sa avec le forum?
sinon si les correction sont exactes pour le moment sa me fait 20/20 pas trop mauvais jdirai ^^

Réponse :

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des symboles mathématiques, tu peux regarder ce qui est expliqué ici.

bon..bien continuez dans cette voie ! ^^ Merci. moi ça ne me fait pas 20/20..loin de là...il faudrait 2 personnes à chaque fois, pr etre sur. vs etes géniaux !

Correction Exercice 5:

a) f(x)=g(x- $p i$ /2)?
si vous connaissez votre cours de premiere vous savez qu'avec fonction
g(x)=f(x-a)+b la courbe representant g est le translaté de la fonction f par la translation de vecteur (a,b). Or si on regarde les graphique on observe que f est le translaté de g par la translation de vecteur (- $p i$ /2),0) (oui on deplace f vers la gauche de $p i$ /2) donc f(x)=g(x+ $p i$ /2)

FAUX

b) h(x)=|k(x)|?
en observant les courbes on remarque que lorsque k est negative h est positive avec les meme valeurs et lorsque k est positive h l'est aussi...
en gros la reponse se voit directement sur le graphe. (desoolé j'ai pas de raisonnement plus mathématiques :p)

VRAI

c) f(x)-g(x)+h(x)-k(x)=0?
la encore mon raisonnement est un peu tiré par les cheveux...
en faite j'ai additionné les bosse et les creux pour voir si c'etait nul etant donné que les variations ont la meme amplitude...
sa marche donc pour la premiere la deuxieme et la troisieme mais pour la 4eme variations ya un blem : une bosse - un creux = 2 bosses
2 bosses + une bosse = 3 bosses et 3 bosses - 1 creux = 4 bosses c'est loin de s'annuler... bon j'avoue mon raisonnement est pourri mais il a l'air de tenir le coup quand meme.

FAUX

d) la courbe 4 represente le fonction x→sin(x/2)
il n'y a qu'a essayer un peu...
en k( $p i$ /2)=0 d'apres la courbe 4 or sin ( $p i$ /2 /2) = sin ( $p i$ /4) = $s q r t$ 2 /2 ca ne colle pas...

FAUX

Salut.

Je suis d'accord avec toi.

5.a) Plaçons-nous en x= $p i$ /2, donc on aura f(x)=g(x- $p i$ /2)=0. En regardant les courbes on remarque que si on augmente légèrement x, f décroît alors que g translaté de $p i$ /2, c'est-à-dire à l'origine, croît, lui. Ce qui montre que c'est effectivement faux.

5.b) On ne peux pas le démontrer, mais je suis d'accord pour dire que c'est vrai : h est la courbe "redressée" de k. En fait ce questionnaire est là pour savoir si vous êtes capables de faire des conjectures. En aucun cas une considération graphique n'est une démonstration en soit.

5.c) Effectivement, sur l'intervalle ]3 $p i$ /2;2 $p i$ [ l'égalité n'est pas vérifiée vu que l'on additionnerait 4 valeurs strictement positives. Donc c'est faux.

5.d) La fonction sinus croît jusqu'en 1 alors que k ne dépasse pas 1/2, donc la réponse est clairement négative. C'est faux.

@+

Bonjour,
Très intéressant ce concours,où puis-je trouver le texte des énoncés des exos 5 à 16 ?
merci

je les scannerai au fur et a mesure par contre pour la correction je ne pourrais pas donner celle des exos 6 9 13 et 14 parce que je ne les ai pas fait lors du concours
enfin l'enoncé du 6 arrive ^^ un peu de patience jrevise mon bac en meme temps alors...

l'adresse mentionnée pour le N° 5 ne fonctionne pas ?
Y-a-t-il un site qui donne les 16 énoncés de ce concours ?
merci

tiens j'ai une page là : http://arnaud405.free.fr/FESIC2007/Maths/1.jpg

j'ai pas le temps de faire les autres, dès que c'est bon je fais la suite !

la suite :
http://arnaud405.free.fr/FESIC2007/Maths/2.jpg

Salut.

Je compte sur vous pour fournir le scan de l'exercice 6. Comme on m'a passé un énoncé (merci miumiu), je vais pouvoir avancer le corrigé.

Exercice 6 :(F-F-V-F)

6.a) Dans le doute, commençons par regarder si la fonction est dérivable en 0. Par définition : $lim⁡x→0+f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0+x=0\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$

La limite est finie, donc f est dérivable en 0. L'énoncé est donc forcément faux, vu qu'il affirme le contraire.

6.b) Là il faut remettre en doute la partie "l est rationnel comme limite de nombres rationnels". Au niveau Bac on ne manipule pas les démonstrations de ce genre, donc il faut se demander si cette affirmation est fausse, vu que l'on ne saurait pas le démontrer.

Effectivement, c'est faux, et il faut exploiter ce que l'on appelle la densité de Q dans lR. Pour les plus curieux d'entre-vous, cela veut dire que tout nombre réel peut être exprimé comme limite d'une suite de nombres rationnels justement (et la démonstration existe, mais on va s'en passer), ce qui infirmerait la proposition. Fournissons donc ce contre-exemple en trouvant une suite de nombres rationnels qui tendrait vers un nombre réel non rationnel en l'infini.

Soit $v_n$ ) la suite définie par $v_0$ = 1 et pour tout n≥1, $v_{n+1}$ = $v_n$ + $10^{-n}$ .

On aura donc $v_0$ = 1, $v_1$ = 1,1, $v_2$ = 1,11, etc. qui sont tous rationnels. Pourtant la suite tend vers 1,11111... (une infinité de 1) qui n'est pas rationnel lui (à partir d'un moment il n'y a pas que des 0). Cela fournit donc un contre-exemple.

Donc c'est faux, le raisonnement n'est pas correct.

6.c) On se rappelle du produit scalaire qui s'exprime

$ab⃗.ac⃗=ab×ac×cos⁡((ab⃗;ac⃗))\vec{ab} . \vec{ac} = ab \times ac \times \cos( (\vec{ab} ; \vec{ac}) )$

Or comme les vecteurs sont non-nuls, ils ne déterminent pas la base d'un plan que si ils sont colinéaires, ce qui entraînerait alors que le cosinus vaut 1 ou -1, et il y aurait l'égalité $ab⃗.ac⃗=∣ab⋅ac∣\vec{ab} . \vec{ac} = |ab \cdot ac|$ de vérifiée.

Le cas contraire signifie donc que les vecteurs forment la base d'un plan, et donc que le raisonnement de l'énoncé est correct. On répond donc vrai.

6.d) Et paf ! De quel théorème de composition ils parlent ? La fonction partie entière n'est pas continue au voisinage de 0, donc ça m'étonnerait que ça marche leur affaire, vu que les hypothèses du théorème ne sont pas respectées.

Si on considère la limite à gauche de 0 qui vaut -1 (le sinus est strictement négatif, donc X aussi) et la limite à droite qui vaut 1 (cette fois le sinus est positif), on se rend compte qu'elle ne sont pas égales. Donc malgré le fait que E(0)=0, la notion de limite, elle, n'a pas de sens. Il faut par conséquent encore parler de limites à gauche et à droite vu qu'elles sont différentes.

J'en déduis donc que la réponse est faux.

@+

Regarde plus haut je t'ai donné des liens vers les scans des sujets suivants !

http://arnaud405.free.fr/FESIC2007/Maths/1.jpg
http://arnaud405.free.fr/FESIC2007/Maths/2.jpg

Salut.

Exercice 7 :(F-V-V-F)

7.a) Euh... je n'ai plus l'habitude de faire des raisonnements compliqués pour des limites de ce style, mais il va falloir que je m'adapte au programme.

On va exploiter la limite d'une somme.

Déjà $lim⁡x→0+xln⁡(1+x)x2=lim⁡x→0+ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0^+} \frac{x \ln(1+x)}{x^2} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$ , c'est une limite de cours.

Puis on remarque que $−2ln⁡(x)x2=ln(1/x2)x2\frac{-2 \ln(x)}{x^2} = \frac{ln(1/x^2)}{x^2}$ .

Effectuons le changement de variables X=1/x². Donc :

$lim⁡x→0+−2ln⁡(x)x2=lim⁡x→+∞xln⁡(x)=+∞\lim_{x \to 0^+} \frac{-2 \ln(x)}{x^2} = \lim_{x \to + \infty} x \ln(x) = + \infty$

Par somme de limites, on en déduit que la limite de la fonction de l'énoncé est +∞ en 0 et non 1. D'où la conclusion : c'est faux.

7.b) Pour tout x≥1, ln(x)/x ≥ ln(x)/exp(x) ≥ 0.

Or ln(x)/x tend vers 0 en +∞, donc par théorème de comparaison la limite de ln(x)/exp(x) et nulle en +∞. Donc c'est vrai.

7.c) Là, pas besoin de faire des résolutions de malade. Les 3 termes sont strictement positifs, donc c'est vrai, l'équation n'a pas de solution dans lR.

7.d) Quand on regarde la fonction, un doute s'installe en +∞. L'exponentielle pourrait peut-être faire tendre tout ça vers 0. On va refaire de la comparaison comme en 7.b).

Pour tout x≥1, (1+x²)/exp(x) ≥ ln(1+x²)/exp(x) ≥ 0. Et comme (1+x²)/exp(x) tend vers 0 vu que l'exponentielle l'emporte en l'infini, on en déduit que le tableau n'est pas bon. C'est faux.

Une justification s'impose quand même. J'ai affirmé que pour tout x≥1, 1+x²≥ln(1+x²). Ben ça vient du changement de variable u=1+x² dans l'inégalité de cours u≥ln(u). les plus pointilleux remarquerons que mon changement de variable est valable sur l'intervalle considéré, donc tout va bien.

@+

Merci pour le boulot que tu fais.

Salut.

Exercice 8 :(V-V-F-V)

8.a) f est solution de [E], donc pour tout x, f'(x)-3f(x) = exp(3x).

Pour x = 0, comme f(0) = 1, on en déduit bien que f'(0) = 4. C'est vrai.

8.b) Déjà, g est bien dérivable comme produit de fonctions dérivables.

g'(x) = (f'(x)-3f(x))exp(-3x) ⇒ g'(0) = (4-31)*1 = 1

Donc c'est vrai.

8.c) f(0) = 1, alors que x*exp(3x) = 0 en 0, donc ce n'est pas vrai, c'est faux.

8.d) Soit h la fonction définie par h(x) = $3f(x)-e^{3x}$ -2)/9.

h'(x) = (f' $x)-e^{3x}$ )/3 = f(x) car f est solution de [E] (f'(x)-3f(x) = exp(3x)).

Donc h est une primitive de f. Et comme h(0)=0, c'est la primitive de f qui s'annule en 0. Donc elle est bien définie par : $\text{h(x)=\int_0^x f(t)dt}$.

Conclusion, c'est vrai.

@+