Concours FESIC 2007



  • Bonjour à tous.
    Je vais mettre les exercices qui sont tombés hier lors du concour FESIC.
    Les premiers sont d'un niveau terminal "normal" (exigibles au bac) par contre les derniers sont plus corsés. Ils constituent de bons entrainements pour le bac car ils permettent de mettre en évidence les lacunes.

    La calculatrice est interditemerci de jouer le jeu

    Ce sont tous des vrai/faux il n'est pas besoin de justifier mais nous on va le faire ;).
    le barème : 4 bonnes réponses 5 points _ 3 bonnes réponses 2 points _ 2 bonnes réponses 0 points _ 1 bonne réponse -2 points_ 0 bonne réponses -4 points
    Il y a 16 exercices mais on ne doit en faire que 12 en 2h30

    Exercice 1

    Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (o;u;v)(o;\vec{u};\vec{v}), on considère les points aa d'affixe ii, mm d'affixe zz et mm' d'affixe zz' avec zzz' \ne z.

    On appelle:
    _ hh l'homothétie de centre aa et de rapport 2;

    _ rr la rotation de centre aa et d'angle π2\frac{\pi}{2};

    _ tt la translation de vecteur v\vec{v} .

    a) Si m=h(m)m' = h(m), alors z=2ziz' = 2z - i.

    b) Si m=t(m)m' = t(m) alors z=ziz' = z - i.

    c) Si m=r(m)m' = r(m), alors aa appartient à a médiatrice de [mm][mm'].

    d) Soit bb le point d'affixe 43i4 - 3i.
    le point b=r(b)b' = r(b) a pour affixe 3+4i3 + 4i.

    Et voilà pour le premier (restitution du cours).
    Si je vois que le topic a du succès je mettrai les autres 😉



  • Exercice 2
    Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (o;u;v)(o;\vec{u};\vec{v}), on considère les points A et B d'affixes respectives a=5+i15a = -\sqrt{5} +i\sqrt{15} et b=23+2ib = 2\sqrt{3} + 2i.

    a) Soit nnn\in n. Un argument de ana^n est 2nπ3\frac{2n\pi}{3}.

    b) oo appartient à la médiatrice de [ab][ab].

    c) oaboab est un triangle rectangle en oo.

    d) Le cercle circonscrit à oaboab a pour rayon 3.



  • Exercice 3
    Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (o;u;v)(o;\vec{u};\vec{v}), on considère les points aa et bb d'affixes respectives 11 et 2i2i.

    On désigne par :
    _ (e)(e) l'ensemble des points mm d'affixes zz telles que z2i=z1|z - 2i| = |z - 1|;
    _ (f)(f) l'ensemble des points M, distincts de aa et de bb, d'affixes zz telles que arg(z2iz1)=π2+2kπarg(\frac{z - 2i}{z-1}) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, avec kzk \in z.

    a) (e)(e) est un cercle.

    b) Les points mm de (f)(f) décrivent un cercle sauf deux points.

    c) Le point d'affixe 12+12i\frac{-1}{2} +\frac{1}{2i} appartiennent à (e)(e) et (f)(f).

    d) (F) est aussi l'ensemble des points M tels que le complexe z=z2iz1z = \frac{z - 2i}{z - 1} soit un nombre imaginaire pur.



  • Sympa le topic y manque plus que les reponses ^^



  • lol
    ok ba ça va venir alors ^^



  • C'est pas mal ^^ on attend la suite 😛 😆



  • Désolée pour le retard^^

    Exercice 1
    a)V
    b)F
    c)V
    d)F

    a) h est l'homothétie de centre A et de rapport 2
    h : M(z) → M'(z')

    alors z' - zAz_A = 2 ( z - zAz_A)
    ⇔ z' = 2z - zAz_A
    ⇔ z' = 2z - 2i + i

    z' = 2z -i

    b) t la translation de vecteur v\vec{v} avec zvz_{\vec{v}}= i

    tvt_{\vec{v}} : M(z) → M'(z')

    alors
    z' = z + i

    c) r la rotation de centre A et d'angle π/2

    r : M(z)→ M'(z')

    alors z' - zAz_A = eiπ2e^{i\frac{\pi}{2}} (z - zAz_A)

    donc zzazza=eiπ2\frac{ z' - z_a}{z - z_a} = e^{i\frac{\pi}{2}}

    zzazza=i\frac{ z' - z_a}{z - z_a} = i

    amam=zzazza=i=1\frac{am'}{am} = |\frac{ z' - z_a}{z - z_a} |= |i| = 1

    donc
    AM' = AM

    d) r la rotation de centre A et d'angle π/2

    r : B(z)→ B'(z')

    alors z' - zAz_A = eiπ2e^{i\frac{\pi}{2}} (z - zAz_A)

    ⇔ z' = i (4-3i - i) +i
    ⇔ z' = 4i + 4 +i

    z' = 5i + 4



  • Exercice 2

    V
    F
    V
    V

    a) a = -√5 + i√15
    On a |z| = 2√5
    Soit θ = arg(a) est tel que

    cos(θ ) = 525=12\frac{-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{-1}{2}

    sin(θ ) = 1525=32\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    donc θ = 2π3+2kπ\frac{2\pi}{3} + 2k\pi
    k ∈ mathbbZmathbb{Z}

    formule de cours arg(znarg(z^n) = n arg(z)

    donc un argument de ana^n est 2nπ3\frac{2n\pi}{3}

    b) si O appartient à la médiatrice de [AB] on aurait

    OA = OB
    alors

    oaob=1\frac{oa}{ob} = 1
    or

    ab=5+i1523+2i=i521\frac{|a|}{|b|} = \frac{|-\sqrt{5}+ i \sqrt{15}|}{|2\sqrt{3} + 2i|} = |\frac{i\sqrt{5}}{2}|\ne 1

    --> contradiction

    c) (ob;oa)=arg(ab)=arg(i52)=π2(\vec{ob};\vec{oa}) = arg(\frac{a}{b}) =\arg(\frac{i\sqrt{5}}{2}) = \frac{\pi}{2}

    donc OAB rectangle en O

    d) Calcul de la distace AB
    on sait que le triangle OAB est rectangle
    donc AB² = OA² + OB²
    AB² = (-√5)² + (√15)² + (2√3)² + 2² = 36
    AB = 6
    Le cercle circonscrit à OAB à pour diamètre 6 donc pour rayon 3



  • C(est parfait, merci beaucoup 😃



  • zut. vous savez comment est ce que l'on fait pour consulter nous messages privés ?
    Merci



  • Bon je vais mettre un peu les choses au clair ^^
    Moi aussi j'ai passé le concours je suis aussi stréssée que vous donc la correction m'interesse également
    je l'a fait en colaboration avec les autres modos pour être sure de ne pas dire n'importe quoi.
    Je passe d'autres concours donc je vais mettre la correction du 3ème exercice mais jusqu'à mercredi prochain il n'y aura rien.
    Je suis désolée mais n'oubliez pas que le concours est minoritaire face au dossier et à l'entretien (coeff 1/5 si je ne m'abuse...) alors on se calme ^^



  • mouè mouè...moi coeff 7..et j'ai pas d'entretien..et mon dossier...j'ai aux alentours de 10 ou 11..



  • Si vous voulez j'ai passé le concours aussi et jsuis pas trop trop mauvais en math (environ 16 de moyenne) jpourrai vous aidez a corriger



  • c sympa. bah demande les sujets. au pire je peux les scanner.demande à miumiu.



  • Toutes les bonnes volontés sont les bienvenues.

    Si tu as envie de participer, tu as le droit de le faire. Il suffit que tu mettes ici les corrections qui manquent et que tu as envie de partager avec les autres.

    Merci pour ceux qui en bénéficieront.



  • euh bas concernant le sujet je l'ai toujours sinon jveux bien poster les correction mais je suis pas sur qu'elle soit forcément correcte j'ai aussi passé le concours et je doute d'avoir fait un sans faute.



  • Poste tooujours on regardera si c'est juste ou non !

    Les lecteurs sauront que tu n'est pas forcément sûr de toi mais ils seront reconnaissants de trouver quelqu'un qui a envie de les aider



  • ok ok alors jme lance ^^ jvais poursuivre avec l'exercice 4 jpense que miumiu s'occupe du 3 😛

    Exercice 4:

    http://www.hebergement-images.com/06/1179412938_File0012.jpg

    Désolé pour la qualité mon scanner est pas terrible et j'avais deja ecrit dessus alors j'ai du rectifier 😛



  • Bon voila la correction maintenant ^^

    Correction exercice 4:

    a) Γ represente f ?
    F est la primitive de f donc f est la dérivée de F logique jusque la....
    Si Γ representait f, derivée de F, lorsque la fonction f s'annule en changeant de signe la courbe representant F devrait changer de variation. Prenons par exemple en sqrtsqrte) Γ passe par 0 en devenant positive. A ce moment la C la courbe representante de F devrait devenir croissante ce qui n'est pas le cas puisqu'elle l'est deja. On peut donc deja dire que la proposition est fausse. En effet lorsque C s'annule en 1 on observe que Γ passe de decroissante a croissante. C'est donc l'inverse Γ represente F et C represente f.

    FAUX

    b) F(x) = ∫[0,x] f(t) dt ? avec x ∈ mathbbRmathbb{R}+
    ici on parle d'integrale et non d'aire donc il n'y a pas de souci de positivité de la fonction f.
    ∫[a,x] f(t) dt = F(x) - F(a) or ici F(0)=0 donc ∫[0,x] f(t) dt = F(x)

    VRAI

    c) Les deux aires hachurées sont égales?
    on serait tenté de dire faut car f est negative entre 0 et 1 et positive apres mais on parle d'aire donc le signe ne change pas.
    de plus : ∫[0,1] f(t) dt = F(1) et ∫[1,sqrtsqrte)] f(t) dt = F(sqrtsqrte)) - F(1)
    F(sqrtsqrte)) = 0 donc les 2 aires sont égales.

    VRAI

    d) F est deux fois derivables en 0 et F''(0)=0 ?
    Il y a deux proposition a vérifier : la derivabilité et la valeur de la derivée seconde en 0.
    la derivée seconde reviendrai a la derivée premiere de f or on nous dit ici que la courbe representante C de f admet une tangente vertical en 0 donc F n'est pas deux fois derivable en 0 on peut deja s'arreter ici.

    FAUX



  • Je ne suis pas sur à 100% de ton raisonnement...



  • arnaud405
    Je ne suis pas sur à 100% de ton raisonnement...

    Ben moi j'ai trouvé pareil et ca me fait 5/5 si c'est vrai ,alors ya t'il quelqu'un pour confirmer?



  • la premiere par exemple..rrRR


  • Modérateurs

    Salut.

    4.a) Effectivement, en considérant les variations des courbes on en conclue que c'est faux.

    4.b) Justement si on parlait d'intégrale tu n'aurais pas eu besoin de parler de la constante. C'est bien d'une primitive dont on parle (vu que le résultat dépend de x et par conséquent n'est pas constant), et selon la constante on peut parler de "la" primitive qui s'annule en 0. Donc ça m'a l'air vrai pour moi aussi.

    4.c) On va écrire ça un peu plus proprement :

    f(e)=0ef(t)dt=01f(t)dt+1ef(t)dt=0f(\sqrt{e}) = \int_0^{\sqrt{e}} f(t) dt = \int_0^{1} f(t) dt + \int_1^{\sqrt{e}} f(t) dt = 0

    Donc les 2 aires sont égales, c'est vrai.

    4.d) Déjà F admet une tangente horizontale en 0 et est continue, donc F est dérivable au moins une fois en 0.

    f présentant une tangente verticale en 0 et y étant décroissante, cela signifie que $\text{\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=-\infty}$. Donc f n'est pas dérivable en 0 par définition : la limite du taux d'accroissement en 0 n'admet pas de limite finie.

    On en déduit donc que F n'est pas deux fois dérivable en 0. La réponse est "faux".

    @+



  • Exercice 3
    F
    F
    V
    F

    a)
    |z - 2i| = |z - 1|

    |z - zBz_B| = | z - zAz_A|

    BM = AM

    (E) est la médiatrice de [BA]

    b)
    arg(z2iz1)=π2[2π]\arg(\frac{z-2i}{z-1}) = \frac{\pi}{2} [2\pi]

    (am;bm)=π2[2π](\vec{am};\vec{bm}) = \frac{\pi}{2} [2\pi]

    on a ABM rectangle en M
    (F) décrit un demi cercle privé de A et B
    l'angle est orienté

    moi non plus je n' aime pas comment je le formule
    c)
    AC² = (32)2+(12)2=52(\frac{-3}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{5}{2}

    et

    BC² = (12)2+(32)2=52(\frac{1}{2})^2 + (\frac{-3}{2})^2 = \frac{5}{2}

    AB² = 5

    d'où C appartient à (F)

    de plus

    |zcz_c - 2i | = 12i32|-\frac{1}{2} - i\frac{3}{2}|

    |zcz_c -1| = 32+12|\frac{-3}{2} + \frac{1}{2}|

    |zcz_c - 2i | = |zcz_c -1|

    d) Si le rapport vaut -i l'argument vaut π2[2π]\frac{-\pi}{2} [2\pi]



  • Effectivement ta correction jeet-chris est plus propre 😛 d'ailleurs comment tu fais pour ecrire les integrales comme sa avec le forum?
    sinon si les correction sont exactes pour le moment sa me fait 20/20 😛 pas trop mauvais jdirai ^^



  • Réponse :

    Pour écrire plus joliment les énoncés avec des symboles mathématiques, tu peux regarder ce qui est expliqué ici.



  • bon..bien continuez dans cette voie ! ^^ Merci. moi ça ne me fait pas 20/20..loin de là...il faudrait 2 personnes à chaque fois, pr etre sur. vs etes géniaux !



  • Correction Exercice 5:

    a) f(x)=g(x-pipi/2)?
    si vous connaissez votre cours de premiere vous savez qu'avec fonction
    g(x)=f(x-a)+b la courbe representant g est le translaté de la fonction f par la translation de vecteur (a,b). Or si on regarde les graphique on observe que f est le translaté de g par la translation de vecteur (-pipi/2),0) (oui on deplace f vers la gauche de pipi/2) donc f(x)=g(x+pipi/2)

    FAUX

    b) h(x)=|k(x)|?
    en observant les courbes on remarque que lorsque k est negative h est positive avec les meme valeurs et lorsque k est positive h l'est aussi...
    en gros la reponse se voit directement sur le graphe. (desoolé j'ai pas de raisonnement plus mathématiques :p)

    VRAI

    c) f(x)-g(x)+h(x)-k(x)=0?
    la encore mon raisonnement est un peu tiré par les cheveux...
    en faite j'ai additionné les bosse et les creux pour voir si c'etait nul etant donné que les variations ont la meme amplitude...
    sa marche donc pour la premiere la deuxieme et la troisieme mais pour la 4eme variations ya un blem : une bosse - un creux = 2 bosses
    2 bosses + une bosse = 3 bosses et 3 bosses - 1 creux = 4 bosses c'est loin de s'annuler... bon j'avoue mon raisonnement est pourri mais il a l'air de tenir le coup quand meme.

    FAUX

    d) la courbe 4 represente le fonction x→sin(x/2)
    il n'y a qu'a essayer un peu...
    en k(pipi/2)=0 d'apres la courbe 4 or sin (pipi/2 /2) = sin (pipi/4) = sqrtsqrt2 /2 ca ne colle pas...

    FAUX


  • Modérateurs

    Salut.

    Je suis d'accord avec toi.

    5.a) Plaçons-nous en x=pipi/2, donc on aura f(x)=g(x-pipi/2)=0. En regardant les courbes on remarque que si on augmente légèrement x, f décroît alors que g translaté de pipi/2, c'est-à-dire à l'origine, croît, lui. Ce qui montre que c'est effectivement faux.

    5.b) On ne peux pas le démontrer, mais je suis d'accord pour dire que c'est vrai : h est la courbe "redressée" de k. En fait ce questionnaire est là pour savoir si vous êtes capables de faire des conjectures. En aucun cas une considération graphique n'est une démonstration en soit.

    5.c) Effectivement, sur l'intervalle ]3pipi/2;2pipi[ l'égalité n'est pas vérifiée vu que l'on additionnerait 4 valeurs strictement positives. Donc c'est faux.

    5.d) La fonction sinus croît jusqu'en 1 alors que k ne dépasse pas 1/2, donc la réponse est clairement négative. C'est faux.

    @+



  • Bonjour,
    Très intéressant ce concours,où puis-je trouver le texte des énoncés des exos 5 à 16 ?
    merci


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