exercice sur la résolution de système

[NiNpU]

kOukOu ^^ !

J'ai un exercice assez bizarre sur les systèmes le voici :

**A l'aide d'inconnues auxilliaires , on veut résoudre le systme :
(1) | 3 (x-3)² - (2 / (y-1)) + 5 = 0
| 7 (x-3)² + (4/ (y-1)) = 23

1. On pose X= (x-3)² et Y= 1/(y-1)
   Verifer que le systeme s'ecrit alors :
   (2) | 3X-2Y+5=0
   | 7X+ 4Y =23
   et résoudre le systeme (2) d'inconnues ( X; Y )

2. Résoudre les équations :
   ( x-3) ² =1 et 1/(y-1) =4

3. En déduire les couples de solutions du systeme (1)**

J'ai deja répondu a la question 1 et j'ai trouvé le couple S=( 1 ; 4 ) . Par contre je suis bloqué pour la résolution de l'équation j'ai essayé avec des racines mais je bloque et du coup je ne peux pas répondre à la 3 eme question .
Je ne demande pas de réponse juste une explication si c'est possible sans vous déranger bien sur :rolling_eyes: .
Merci Beaucoup

[Zorro]

Bonjour

Résoudre ( x-3) ² = 1 est équialent à résoudre (x - 3) ² - 1 = 0

et tu ne vois pas une factorisation possible de (x - 3) ² - 1 ?

Pour résoudre 1/(y - 1) = 4 :

penser que 4 = 4/1 et une magnifique utilisation du produit en croix devrait te mener vers la solution

[NiNpU]

Merci beaucoup de m'avoir aidé !

Je pense avoir compris alors voila ce que j'ai fais :
( x-3)² - 1 = 0
x² - 6x + 9 - 1 =0
x² - 6x + 8 = 0
x ( - 6x + x + 8 ) = 0
x ( -5x + 8 ) = 0

Si un produit est nul , alors l'un de ses facteurs est nul :
x = 0 ou
-5x + 8 = 0
-5x= -8
x= 8/5

Ensuite pour 1/(y - 1) = 4 , si je reprend ce que tu m'as dis sa fait donc :
1/(y-1) / ( 4/1 )
1*1 = 4(y-1)
4y - 4 = 1
4y = 5
y = 5/4

Si tu pourrais me corriger en cas ou j'ai faux quelque part si tu veux bien :rolling_eyes:

Merci encore !!!

[Zorro]

Non

x² - 6x + 8 n'est pas égal à x(- 6x + x + parce que si tu développes

x(- 6x + x + = -6x² + x² + 8x qui ne ressemble pas à x² - 6x + 8 .....

Pour factoriser (x - 3)² - 1 = 0 rappelle toi ce que tu as fait en 3ème et en 2nde ...

utilse l'identité remarquable $a^2$ - $b^2$ = ????

il faut penser que 1 = $1^2$

pour la solution avec y , c'est juste

[NiNpU]

Re encore merci !

Merci de m'avoir corriger ,c'est bon je pense avoir la solution :
a² = ( x-3)
b² = 1
a²-b²=
((x-3)-1) ( (x-3)+1) = 0

Si un produit est nul , alors l'un de ses facteurs est nul :
-1(x-3) =0
-x+3 = 0
-x =-3
x=3

ou x-3 = 0
x=3
J'espere que c'est bon lol en tout cas merci de m'eclaircir !
Est ce que je dois prendre en compte ces deux solutions ou bien juste une seule solution puisque elles sont égales pour la question 3 ?

Merci beaucoup :rolling_eyes: !!!!

[Zorro]

Juqu'à ((x-3) - 1) ((x-3) + 1) = 0 c'est juste mais pourquoi

(x-3) - 1
et
(x-3) + 1

sont devenus
-1(x-3)
et
x-3

recommence ton calcul ! et dis nous ce que vaut :
(x-3) - 1 [ ne confonds pas (x-3) - 1 avec (x-3) * (-1) ]
et
(x-3) + 1 [ ne confonds pas (x-3) + 1 avec (x-3) * (1) ]

donc que vaut ((x-3) - 1) ((x-3) + 1) ?

Pour les solutions tu vas trouver 2 valeurs pour x (appelons les $x_1$ et $x_2$

donc l'ensemble des solutions sera constitué des 2 couples ( $x_1$ ; 5/4) et ( $x_2$ ; 5/4)

[NiNpU]

Re ,

ah oui je me suis embrouilée désolé !

Donc sa fait :
(x-3)+1=0
x-2=0
x=2

ou
(x-3)-1 =0
x-4=0
x=4

Je note directement les couples de solution {2 ; 5/4 } et { 4; 5/4 } sans justification ?

Encore merci pour tes conseils !!