Algèbre et homothéties

[thefifi]

Bonjour,
Voici l'énoncé:
Un rectangle de longueur L et de largeur l (L>l) est un rectangle d'or lorsque L= ($sqrt$5 +1 / 2) x l

A.Construction à la règle et au compas
EFGH est un carré, I le milieu de [HG]. Le cercle de centre I et de rayon IF coupe la droite (HG) en K te lque G soit entre I et K. On note N le quatrième sommet du rectangle HKNE.
Après avoir fait une figure démontrez que HKNE est un rectangle d'or.

B. ABCD est un rectangle d'or (AB>AD) et h est une homothétie de centre A et de rapport k tel que 0<k<1.
On note M= h (C)

1. a. Lrsque M est donné, construisez les points I= h(B) et J= h(D)
   b. Pourquoi AIMJ est-il un rectangle d'or ?
2. a. Démontrez que IB= (1-k) AB
   b. La droite (MI) coupe (DC) en K.
   Démontrez que " IKCB est un carré" équivaut à: 1-k = 2 / (1+$sqrt$5)
   c. Déduisez-en que "IKCB est un carré" équivaut à : k= (3-$sqrt$5) / 2
3. Dans cette question, on suppose que k = (3-$sqrt$5) / 2
   a. Démontrez que DKMJ est aussi un carré
   b. Déduisez-en que AIKD est un rectangle d'or

J'ai tracé la figure et fais l'exercice.
Dans mon prochain poste je vous transmet les résultats trouvés, en espérant que vous me les corrigerez.Merci d'avance.

[thefifi]

A.
Pou démontrer que HKNE est un rectangle d'or, il faut qu'o ait: L= ($sqrt$5 + 1) /2 xl
On nomme a ,le côté du carré initial. Donc HG= EH= FG= a et I est le milieu de HG donc I= a/2

FIG est un triangle rectangle en G car son sommet Gest un des angles du carré EFGH, donc d'après le théorème de Pythagore on a :
FI²=FG²+GI² alors FI²=a²+ (a/2)² = a²+ (a²/4) = (4a²/4) +(a²/4) = ( 5a² /4) donc FI= ($sqrt$5 x a ) / 2

On a HK= HI+IK et HI = (a/2)

IK est un rayon du cercle de centre I donc IK= FI = ($sqrt$5 x a)/2
d'où HK= (a/2) +( ($sqrt$5 x a) /2 )

On cherche L / l = ($sqrt$5 +1 ) / 2 soit que HK / HE = ( $sqrt$5 +1) / 2 ?
HE = a d'où HK/HE = [(a/2) + ($sqrt$5 +1) /2] / a
= (a + $sqrt$5 x a) / 2a
= ( a(1+$sqrt$5)) / 2a
= (1+$sqrt$5) / 2
donc HK/ HE= (1+$sqrt$5)) /2 d'où HK= (1+$sqrt$5)/2 x HE
On a donc bien L= ($sqrt$5+1) /2 xl donc HKNE est un rectangle d'or.

[Jeet-chris]

Salut.

C'est bien, sauf que à partir de "On cherche L/l [...]" tu en fais trop. Je reprends juste avant :
$hk=\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{5}}{2}a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}a$

Or HE = a, donc $hk=\frac{1+\sqrt{5}}{2}hk$.

Et on conclut.

@+