intersection de 2 plans dans l'espace

Bonsoir, j'aurais besoin de votre aide pour résoudre ce petit éxercice :

A (-1; 2; 1)
B (1; -6; -1)
C (2; 2; 2)

Je dois démontrer que A, B et C définissent un plan et déterminer son intersection avec P d'equation :
x - 3y + z - 4 = 0

=> AB (2; -8; -2)
AC (3; 0; 1) ils n'ont pas de coordonnées proportionelles donc A,B, C est bien un plan.
mais je ne sais pas comment déterminer l'équation du plan A,B,C
est ce qu'il faut faire ceci :

{x+1 = 2a + 3b
{y-2 = -8a
{z-1 = -2a + b

?? et si c'est celà pouvez vous m'indiquer comment le résoudre

merci d'avance

Bonjour,

C'est quoi a et b ?

A , B et C appartiennent au plan (ABC) donc leurs coordonnées vérifient l'équation du dit plan !

ok, mais justement je voudrai connaitre les coordonnées du plan A,B,C
du type ax + by + cz + d = 0

Tu n'as vraiment jamais fait ce genre d'exercice en classe : trouver une équation d'un plan passant pas 3 points non alignés ?

en effet une équation d'un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0

mais on peut prendre d = 1 puisque si ax + by + cz + 1 = 0 est une équation du plan toute équation obtenue par multiplication de celle-ci par n'importe quel réel sera aussi une équation du même plan

il ne reste plus qu'à écrire que A , B et C appartiennent au plan en question pour pour trouver 3 nombres a , b et c qui conviennent

donc je dois résoudre ceci ?

{-a + 2b +c = 0
{a - 6b - c = 0
{2a + 2b + 2c = 0

si je prends d=0

c'est bien celà ?

Non tu n'as pas le droit de prendre d = 0 ..... il faut prendre d = 1 ....

{-a + 2b + c + 1 = 0
{a - 6b - c + 1 = 0
{2a + 2b + 2c + 1 = 0

{-a + 2b + c + 1 = 0 => x3
{a - 6b - c + 1 = 0
{2a + 2b + 2c + 1 = 0

{-3a + 6b + 3c + 3 = 0
{a - 6b - c + 1 = 0
{2a + 2b + 2c + 1 = 0

o_O ?? je dois remplacer a, b ou c par n'importe quel nombre, c'est celà ?
c'est la méthode du pivot de gosse.. comment dois-je procéder ?

comprends-tu pourquoi tu n'as pas le droit de prendre d = 0 ?

car ax + by + cz = 0 est une équation d'un plan passant par l'origine O ; ce qui voudrait dire que les points O , A , B et C serait coplanaires ; donc on pourrait écrire par exemple OA $→^\rightarrow$ = mOB $→^\rightarrow$ + nOC $→^\rightarrow$ ; or il n'existe pas de tels m et n ; donc d ≠ 0

alors (a/d)x + (b/d)y + (c/d)z + (d/d) = 0 est une autre équation du même plan donc une équation d'un plan est de la forme

αx + βy + γz + 1 = 0 et il ne reste plus qu'à trouver α , β et γ avec les coordonnées des 3 points connus ...

donc trouver a , b et c tels que ax + by + cz + 1 = 0 etc ...

bonsoirlafrance
{-a + 2b + c + 1 = 0 => x3
{a - 6b - c + 1 = 0
{2a + 2b + 2c + 1 = 0

{-3a + 6b + 3c + 3 = 0
{a - 6b - c + 1 = 0
{2a + 2b + 2c + 1 = 0

o_O ?? je dois remplacer a, b ou c par n'importe quel nombre, c'est celà ?
c'est la méthode du pivot de gosse.. comment dois-je procéder ?

Non tu ne dois pas remplacer a, b ou c par n'importe quel nombre !!! tu dois trouver 3 nombres a, b et c qui sont solutions de ce système ...

ajoute les 2 premières lignes .....

{-4b + 2 = 0 => b = 1/2
{2a + 2b + 2c + 1 = 0

<=>

{2a + 2c + 2 = 0
... ?

En remplaçant b par 1/2 dans la 1ère et la 3ème .... il ne te reste plus que 2 équations à 2 inconnues (a et c ....)