Inégalité à démontrer



  • Bonjour,

    Je n'arrive pas à démonter la première question d'un bac de math,et le corrigé que j'ai trouvé ne m'aide pas vraiment.Pourriez vous m'aider?

    Démontrer que pour tout n appartient à N* et tout x de [0,1]:

    1/n - x/(n²) ≤ 1/(x+n) ≤ 1/n

    J'ai l'impression d'avoir tourné mes inégalités de départs dans tout les sens je ne trouve pas(par ex: 0 ≤ x ≤ n )
    Merci d'avance



  • Salut
    Pour prouver que
    r\forall \in \mathbb{r}^*

    et

    x[0;1]\forall x \in [0;1]

    1x+n1n\frac{1}{x+n} \le \frac{1}{n}

    cela ne doit pas poser de problèmes

    pour l'autre j'ai trouvé quelque chose mais j'aurais besoin de savoir si dans ton exercice il est précisé que xx peut être égal à nn (=1)


  • Modérateurs

    Salut.

    Ben oui, tu l'as même écrit : x∈[0;1].

    La première inégalité se montre assez rapidement. Au brouillon on remarque la suite d'inégalités suivante :

    1nxn21x+n\frac{1}{n} - \frac{x}{n^2} \leq \frac{1}{x+n}

    On multiplie par n qui est non nul d'après l'énoncé :

    1xnnx+n1 - \frac{x}{n} \leq \frac{n}{x+n}

    Or à droite nx+n=(x+n)xx+n=1xx+n\frac{n}{x+n} = \frac{(x+n)-x}{x+n} = 1-\frac{x}{x+n}

    Donc on s'est ramené après simplification par 1 et multiplication par -1 :

    xnxx+n\frac{x}{n} \geq \frac{x}{x+n}

    Ce résultat est immédiat.

    Conclusion : on part de la dernière égalité et on remonte, ce qui fournit la démonstration. 😄

    @+


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