Inégalité à démontrer

Bonjour,

Je n'arrive pas à démonter la première question d'un bac de math,et le corrigé que j'ai trouvé ne m'aide pas vraiment.Pourriez vous m'aider?

Démontrer que pour tout n appartient à N* et tout x de [0,1]:

1/n - x/(n²) ≤ 1/(x+n) ≤ 1/n

J'ai l'impression d'avoir tourné mes inégalités de départs dans tout les sens je ne trouve pas(par ex: 0 ≤ x ≤ n )
Merci d'avance

Salut
Pour prouver que
$∀∈r∗\forall \in \mathbb{r}^*$

et

$∀x∈[0;1]\forall x \in [0;1]$

$1x+n≤1n\frac{1}{x+n} \le \frac{1}{n}$

cela ne doit pas poser de problèmes

pour l'autre j'ai trouvé quelque chose mais j'aurais besoin de savoir si dans ton exercice il est précisé que $x$ peut être égal à $n$ (=1)

Salut.

Ben oui, tu l'as même écrit : x∈[0;1].

La première inégalité se montre assez rapidement. Au brouillon on remarque la suite d'inégalités suivante :

$1n−xn2≤1x+n\frac{1}{n} - \frac{x}{n^2} \leq \frac{1}{x+n}$

On multiplie par n qui est non nul d'après l'énoncé :

$\frac{x}{n} \leq \frac{n}{x+n}$

Or à droite $nx+n=(x+n)−xx+n=1−xx+n\frac{n}{x+n} = \frac{(x+n)-x}{x+n} = 1-\frac{x}{x+n}$

Donc on s'est ramené après simplification par 1 et multiplication par -1 :

$xn≥xx+n\frac{x}{n} \geq \frac{x}{x+n}$

Ce résultat est immédiat.

Conclusion : on part de la dernière égalité et on remonte, ce qui fournit la démonstration.

@+