Relations Vectorielles.

Il s'agit d'un devoir maison pour passer de la 1ere a la Terminale S.
Un exercice me pose problème,je vous mets l'énoncé:

En Utilisant les notations classiques,Soit ABC un triangle,A' , B' , C' les milieux des côtés , G le centre de gravité.

Etablir GA²+GB² = 2GC'²+1/2(AB²) = 1/2(GC²+AB²).
En déduire GA²+GB²+GC² = 1/3 (AB²+BC²+CA²).

Premièrement est-ce que on peut considérer des vecteurs?et non des longueurs?

Pour la 1ere Question , j'ai résolu la premiere égalité avec le théorème de la médiane,mais j'ai un problème avec le second.
La seconde égalité revient a 2GC'² = GC²/2 si l'on annule les AB²/2.Comment faire une fois arrivé a ce point la?Avez vous d'autres idées?

Pour la seconde question,j'ai une hypothèse complètement folle,mais autant voir si elle est exacte.
AB²+BC²+CA² = 0 avec la relation de Chasles , Donc 1/3 ( AB²+BC²+CA²) = 0.

étant donné que G est le centre de gravité du triangle ,alors GA²+GB²+GC² = 0.

QU'en pensez-vous?

Mercii d'avance de votre réponse.

Bonjour (au passage)

Quand tu dis A' , B' et C' les milieux des côtés tu pourrais préciser lesquels bon moi j'en conclus que que A' est le milieu du coté opposé au sommet A et qu'il en est de même pour B' , B et C' , C.

"est-ce qu'on peut considérer des vecteurs? et non des longueurs ?"
Non pas vraiment et quand je vois ce que tu as fait pour le 2) il faut que tu effaces ça de ta tête. En revanche tu peux te servir de l'égalité:
$ga2=ga⃗2ga^2 = \vec {ga}^2$ c'est avec ça que l'on démontre la premiere égalité

1)Si tu as vraiment trouvé la 1ere question c'est très bien mais le théoreme de la mediane n'est pas indispensable bref
Pour la seconde égalité que tu as à démontrer tu peux effectivement montrer que 2GC'² = GC²/2 en se servant du fait que G est le centre de gravité du triangle, donc il est à l'intersection des médianes.
Le point d'intersection se trouve au 2/3 de la médiane en partant du sommet , si tu ne te souviens pas de ça tu peux toujours faire une figure , ça saute aux yeux.
de là tu peux te servir de l'égalité GC = 2GC' je te laisse continuer la dessus.

2)A cette question je suis désolé mais tu as ecrit n'importe quoi d'abord comme tu as confondu vecteurs et longueurs tu as du penser que AB + BC + CA = 0 et monter au carré comme si de rien n'etait enfin je sais pas trop comment tu es arrivé à ton "hypothese" mais réflechis quand même à une chose: tu viens d'ecrire que la somme des carrés des 3 Cotés du triangle est nulle , donc que chacun des cotés est nul , ce n'est plus un triangle c'est un point...
Et je ne vois pas en quoi le fait que G soit le centre de gravité du triangle te permette d'ecrire GA²+GB²+GC² = 0 ce qui revient encore une fois à considerer que GA = GB = GC = 0 , ce n'est meme plus un triangle. Enfin s'il te plait fait une figure pour vérifier ce que tu affirmes

Bon donc on prend la question 2 , ils te demandent de déduire donc de te servir de ce que as précédemment démontré c'est à dire
GA² + GB² = 1/2(GC² + AB²)
mais il en est de même pour GB² + GC² et GA² + GC² ainsi ...
GC² + GB² = 1/2(GA² + BC²)
GA² + GC² = 1/2(GB² + AC²)
même si c'est un peu lourd , tu peux additionner membre à membre et tu devrais trouver.

Bonjour (Désolé d'avoir oublié precedemment...)

Premièrement Merci Beaucoup pour ton aide,qui se révèle véritablement utile.

J'oserais te poser une ou deux dernieres questions par contre

En suivant tes indications,j'obtiens ce calcul :

2GC'=GC²/2
= (2GC')²/2 . J'ai remplacé GC² par 2GC'
= 4GC'/2 . J'ai appliqué le carré dans la parenthèse
= 2GC' . J'ai simplifié.

Il manque peut etre un carré a la 3eme ligne,mais n'en étant pas sur,j'ai laissé la solution qui me convenait le mieux =D.Toutefois,si il y avait un carré , je ne saurais comment résoudre cette question...

EDIT:enfait il manque le carré,mais il est présent dans l'énoncé,donc ma relation est juste.

Mercii Beaucoup pour ces précisions,je me lance dans la seconde question de l'exercice

En fait il faut que tu partes de l'un et que tu essais d'arriver à l'autre c'est toujours mieu vu que de partir de l'égalité que tu n'as pas encore démontré (2GC'=GC²/2) et de montrer qu'elle est vérifiée ( 2GC'=2GC')
tu pars de ce que tu sais donc :
GA²+GB² = 2GC'² + AB²/2
tu sais aussi que comme G est le centre de gravité:GC=2GC' <=> GC/2=GC'
d'où 2GC'² + AB/2
= 2(GC/2)² + AB²/2
= (2/4)GC² + AB²/2
= 1/2(GC²+AB²)