Dm sur les suite et barycentre



  • Salut à tous et bonne rentré.
    Mais bon la rentré engendre également quelque petit problème tel que se DM sur lequel je coince et il est pour demain...

    voici l'énoncé:
    Dans un plan muni d'un repère orthonormale (O;i,j), on donne les points A(1;-1) et B(5;3). on considère la suite de points (Gn) définie par le point G0 en O et, pour n≥1, Gn est le barycentre des points pondérés (Gn1(G_{n-1} ;2), (A;1), (B;1).
    On note (Xn;Yn) les coordonnées de Gn.

    1)- Calculer les coordonnées des points G1,G2 et G3.
    Placer ces points et montrer qu'ils sont alignés.

    Ma réponse:

    $Gn=bar{(G_{n-1}$ ,2)(A,1)(B,1)}
    G1= bar {(G0,2)(A,1)(B,1)}
    xG1=(0×2+1×1+5×1)/(2+1+1)=3/2 Donc G1 (3/2;-1/2)
    yG1=(0×2+(-1)×1+3×1)/(2+1+1)=-(1/2)

    G2= bar {(G1,2)(A,1)(B,1)}
    xG2=((3/2)×2+1×1+5×1)/(2+1+1)=9/4 Donc G2 (9/4;1/4)
    yG2=((-1/2)×2+(-1)×1+3×1)/(2+1+1)=1/4

    G3= bar {(G2,2)(A,1)(B,1)}
    xG3=((9/4)×2+1×1+5×1)/(2+1+1)=21/8 Donc G3 (21/8;5/8)
    yG3=((1/4)×2+(-1)×1+3×1)/(2+1+1)=5/8

    Ceci est pour les coordonnées des points G1,G2, et G3.

    On prend les vecteur G1G2 et G2G3.

    vecteur G1G2(9/4 -3/2) =(3/4) vecteur G2G3(21/8-9/4) =(5/8)
    (1/4+1/2) (3/4) (5/8-1/4) (5/8)

    Donc si xy'-x'y=0 alors les vecteurs sont colinéaire et les points alignés
    Et 3/4x5/8-5/8x3/4=0 Donc les points G1,G2 et G3 sont alignés.

    2)- Prouver que, pour tout n de N, Gn+1G_{n+1} est l'image de Gn par homotétie que l'on caractérisera par son centre et son rapport

    Ma réponse est que je ne comprend la question et que ne ma rappel plus ce qu'est une homotétie...
    Merci de m'aider pour ceci.

    3)- Justifier que pour tout n de N, xx_{n+1}=1/2xn=1/2x_n+3/2.

    Ma réponse est que je ne comprend pas non plus car je pense qu'il faut le faire a partir de la2 mais comme je ne sais pas la faire je bloque.
    Merci encore pour votre aide.

    4)- a- On pose xx_n=Un=U_n+3 pour tout entier n. Démontrer que (Un) est une suite géometrique dont on donnera le premier terme et la raison.
    b- En déduire une expression simple de xnx_n en fonctiopn de n.
    c- Déterminer la limite de la suite (Xn).

    Ma réponse:
    a- $$n$=U_n$+3 ; ∀ n de N.
    xx
    {n+1}=1/2xn=1/2x_n+3/2
    xx{n+1}=1/2(xn=1/2(x_n+3)
    xx
    {n+1}=1/2(Un=1/2(U_n)

    Donc xn+1x_{n+1}=qUn où q est la raison qui est égale a 1/2.
    Mais pour le premier terme je ne trouve pas.
    b-Je ne trouve pas une expression simplifier de xnx_n je ne voi pas comment faire.
    c- et c'est de même pour la limite de la suite xnx_n.

    Voilà alors je vous remercie d'avance pour votre aide...



  • Bonjour,

    Il me semble que tu fais une erreur de calcul dans le calcul de yG1y_{G1}
    (0×2 + (-1)×1 + 3×1)/(2 + 1 + 1) = (-1 + 3)/4) = 1/2

    l'erreur se répercute sue les autres valeurs.

    Pour l'homothétie il faut trouver un point I (centre de l'homothéti) et un réel k (rapport de l'homothétie) tel que pour tout GnG_n

    on a IGIG_{n+1}^\rightarrow = k IGIG_n^\rightarrow

    En faisant un dessin avec les premiers barycentres trouvés tu devrais trouver une piste.

    En effet, pour la 3 il faut avoir trouvé la 2 et cela devient limpide.

    Pour la suite xnx_n = UnU_n + 3

    donc UnU_n = xnx_n - 3

    C'est la suite (Un(U_n) qu'on te demande d'étudier pas (xn(x_n)

    Si (Un(U_n) est une suite géométrique de premieer terme U0U_0 et de raison q

    alors UnU_n = U0U_0 qnq^n

    U0U_0 = x0x_0 - 3 = ???

    et si -1 < q < 1 alors quelle est la limite de qnq^n ?



  • d'accord merci j'ai vu mon erreur dans les calculs mais par contre quand je la corrige je trouve que les point G1,G2 et G3 ne sont pas aligné, est-ce normale?



  • non ce n'est pas normal ... tu dois faire encore une faute quelquepart !



  • désolé c'est bon j'ai fait une autre erreur de calcul pour le 1.

    je trouve que G1G2=(3/4)
    (1/4)

    et que G2G3=(3/8)
    (1/8)
    Merci je passe au reste



  • Attention à la rédaction si pour toi

    3/4 et 1/4 sont les coordonnées du vecteur GG_1GG_2^\rightarrow ,

    il ne faut pas écrire GG_1GG_2^\rightarrow = ( 3/4 ; 1/4) qui est une horreur

    mais GG_1GG_2^\rightarrow ( 3/4 ; 1/4) sans rien entre le vecteur et les coordonnées



  • ah d'accord je savais pas merci du conseil.



  • j'ai fais la figure et placé les premiers barycentre mais je ne trouve toujours pas de piste pour les homotétie et autre du 2.

    et sinon pour la limite de qnq^n c'est 0 mais en quoi cela peut il m'aider pour trouver la limite de la suite xnx_n?

    Merci



  • Regarde le milieu de [AB]

    c'est juste une intuition à cause du 1/2 devant le xnx_n ... peut-être à exploiter



  • Zorro

    Pour la suite xnx_n = UnU_n + 3

    donc UnU_n = xnx_n - 3

    C'est la suite (Un(U_n) qu'on te demande d'étudier pas (xn(x_n)

    Si (Un(U_n) est une suite géométrique de premieer terme U0U_0 et de raison q

    alors UnU_n = U0U_0 qnq^n

    U0U_0 = x0x_0 - 3 = ???

    et si -1 < q < 1 alors quelle est la limite de qnq^n ?

    --je n'avais pas tracer [AB] et il coupe la droite passant par G1,G2,G3 en un point k, milieu de [AB].
    quel est le rapport avec les homotétie?????

    ----pour le 4-a) la suite XXn=Un=U_n+3 donc UUn=Xn=X_n-3
    UU
    {n+1}=X</em>n+1=X</em>{n+1}-3
    UU{n+1}=1/2Xn=1/2X_n+(3/2)-3
    UU
    {n+1}=1/2Xn=1/2X_n-3/2
    UU{n+1}=1/2(Xn=1/2(X_n-3)
    U</em>n+1U</em>{n+1}=1/2 UnU_n

    Mais quel est le premier terme?
    et la raison q=1/2

    comme -1<1/2<1
    donc lim de 1/2=0

    Mais pour le reste que faire?????



  • U0U_{0 }= x0x_0 - 3

    et en se souvenant que x0x_0 est l'abscisse de G0G_0 , tu trouves ?
    un petit oubli de puissance

    -1 < 1/2 < 1 donc lim de (1/2)n(1/2)^n=0 quand n tend vers +∞



  • ok don si j'ais compris le premier terme de la suite Un
    est Uo=Xo-3; Uo=0-3=-3.
    Mais pour le 2-) les homotétie je nage complétement...

    Et pour l'expression simplifier de Xn en fonction de n, je doit partir de Xn=Un+3 ou non???

    Mais aussi on me demande la limite de la suite Xn, est ce que la limite de la raison suffi ou y a t'il autre chose a faire??

    Merci



  • pour la 4-b) où il faut en déduire une expression plus simple de Xn en fonction de n; si je fait:
    Xn=Un+3
    Xn=(Xn-3)+3
    Xn=Xn
    Donc Xn=1 ou Xn=0
    ou peut etre que je me plante complet???



  • Si (Un(U_n) est une suite géométrique de premieer terme U0U_0 = -3 et de raison q = 1/2

    alors UnU_n = U0U_0 qnq^n = -3 * (1/2)n(1/2)^n

    ensuite il suffit d'appliquer la formule qui donne xnx_n = UnU_n + 3

    pour connaître xnx_n en fonction de n


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