Etude d'une suite géométrique, sens de variation et limite

Bonjour à tous,
Je suis en terminale S Spé Maths et dès le 2e jour de la rentrée j'ai eu un DM mais qui fait partie du tronc commun. J'ai du mal avec le dernier exercice, je pense avoir bon au début mais je n'arrive pas à faire la fin.

Voilà l'énoncé:

Deux sociétès M et N se partagent le marché des télécommunications d'une région. Actuellement la société M détient 90% de la clientèle. Une étude de marché permet de penser que, chaque année, 20% des clients de M changeront pour N et que, réciproquement, 20% des clients de N changeront pour M.
On étudie un groupe représentatif de 1000clients, et on suppose que la tendance estimée va se poursuivre.
On voudrait prévoir l'évolution du nbre de clients des deux sociétès.
On note $u_$0 le nbre de clients actuels de M et $u_$n ce nbre ds n années.

1.Calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ puis exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ .

2.Pour tt n ∈ $mathbb{N}$ , on pose $v_n$ = $u_n$ - 500.
a.Démontrer que $v_n$ est une suité géométrique puis exprimer $v_n$ en fonction de n.
b.En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de n, le sens de variation de $u_n$ et sa limite.
c.Que peut-on conclure pour les 2 sociétès?

Alors j'ai fait:

$u_0$ = 900 car M détient 90% des 1000clients.
$u_1$ = 900 - ((20/100)* 900) + ((20/100) * (1000-900) = 740
$u_2$ = 740 - ((20/100) * 740) + ((20/100) * (1000-740) = 644
$u_3$ = 644 - ((20/100) * 644) + ((20/100) * (1000-644) = 586.4

$u_{n+1}$ = $u_n$ - 0. $2u_n$ + (0.2 * $1000-u_n$ )
$u_{n+1}$ = 3/5 $u_n$ + 200

a. $v_n$ = $u_n$ - 500
$v_{n+1}$ = $u_{n+1}$ - 500 = 3/5 $u_n$ + 200 - 500 = 3/5 $u_n$ - 300 = 3/5 ( $u_n$ - 500) = (3/5) v $_n$
Donc suite géométrique de raison 3/5 et de premier terme $v_0$ = $u_0$ - 500 = 900 - 500 = 400

Et aprés je suis completement paumée.
Je dit que $v_n$ = $3/5)^n$ * 400)
Mais je n'arrive pas à faire $u_n$ en fonction de n, ca me donne $u_n$ = $3/5)^n$ * 400 ) + 500 et après je suis bloquée. Je n'arrive pas à faire le sens de variation ni la limite.
Je pense que la tendance va s'inverser, N va détenir plus de clients que M mais comme je n'ai pas la fin je ne peux pas le prouver parce que je pense que $u_n$ ) est décroissante.
Merci de votre aide.

Bonjour,

On sait que $v_n$ = $u_n$ - 500

donc $u_n$ = ???

Il ne te reste plus qu'à remplacer $v_n$ par $3/5)^n$ * 400 et tu aurs ce que tu cherches.

Bonjour,
Ca donne $u_n$ =( $3/5)^n$ * 400 ) + 500
C'est ce que j'ai fait, mais comment j'en déduis le sens de variation ?

Pense à utiliser la bonne vieille méthode qui consiste à comparer $U_{n+1}$ à $U_n$ pour tout n de $mathbb{N}$ .

En fait cela revient à étudier le signe de $U_{n+1}$ - $U_n$ .

Si $U_{n+1}$ - $U_n$ > 0 pour tout n de $mathbb{N}$ , alors la suite est ???

Si $U_{n+1}$ - $U_n$ < 0 pour tout n de $mathbb{N}$ , alors la suite est ???

$U_{n+1}$ - $u_n$ = $9/25)^n$ * 240 ) - $15/25)^n$ * 400)

Donc je dis que $9/25)^n$ < $15/25)^n$ et que 240 < 400 donc que $9/25)^n$ * 240 ) < $15/25)^n$ * 400).
Donc que u est décroissante.

Pour la limite: $u_n$ = $3/5)^n$ * 400 ) +500
Donc que la fonction n → $3/5)^n$ , c'est une suité géométrique de raison (3/5) < 1 donc lim = 0.
Et donc pour u, j'ajoute 0 à 500 pour trouver que lim u = 500.
C'est ça non ?

Et donc les 2 sociétés auront le même nombre de clients.

Salut.

2.b) Tu peux effectuer le calcul plus simplement en factorisant tout ça, regarde :

$u$ {n+1} $u_n$ = $400 * (3 / 5)$ ^{n+1} $500-400*(3/5)^n$ -500
$u$ {n+1} $u_n$ = $400*(3/5)^n$ (3/5-1)

Donc $u$ _{n+1} $u_n$ = $160*(3/5)^n$ .

Là le signe est simple à affirmer non ?

En tout cas $u_n$ ) est bien décroissante.

Très bien pour la limite ! La limite de $u_n$ ) étant la somme des limites de $400*(3/5)^n$ et de 500, on trouve bien qu'elle vaut 500.

@+

Merci pour la simplification !