Suites



  • Bonjour à tous,
    Je suis en terminale S Spé Maths et dès le 2e jour de la rentrée j'ai eu un DM mais qui fait partie du tronc commun. J'ai du mal avec le dernier exercice, je pense avoir bon au début mais je n'arrive pas à faire la fin.

    Voilà l'énoncé:

    Deux sociétès M et N se partagent le marché des télécommunications d'une région. Actuellement la société M détient 90% de la clientèle. Une étude de marché permet de penser que, chaque année, 20% des clients de M changeront pour N et que, réciproquement, 20% des clients de N changeront pour M.
    On étudie un groupe représentatif de 1000clients, et on suppose que la tendance estimée va se poursuivre.
    On voudrait prévoir l'évolution du nbre de clients des deux sociétès.
    On note $u_$0 le nbre de clients actuels de M et $u_$n ce nbre ds n années.

    1.Calculer u1u_1, u2u_2, u3u_3 puis exprimer un+1u_{n+1} en fonction de unu_n.

    2.Pour tt n ∈ mathbbNmathbb{N}, on pose vnv_n = unu_n - 500.
    a.Démontrer que vnv_n est une suité géométrique puis exprimer vnv_n en fonction de n.
    b.En déduire l'expression de unu_n en fonction de n, le sens de variation de unu_n et sa limite.
    c.Que peut-on conclure pour les 2 sociétès?

    Alors j'ai fait:

    1. u0u_0 = 900 car M détient 90% des 1000clients.
      u1u_1 = 900 - ((20/100)* 900) + ((20/100) * (1000-900) = 740
      u2u_2 = 740 - ((20/100) * 740) + ((20/100) * (1000-740) = 644
      u3u_3 = 644 - ((20/100) * 644) + ((20/100) * (1000-644) = 586.4

    un+1u_{n+1} = unu_n - 0.2un2u_n + (0.2 * (1000un(1000-u_n)
    un+1u_{n+1} = 3/5 unu_n + 200

    1. a. vnv_n = unu_n - 500
      vn+1v_{n+1} = un+1u_{n+1} - 500 = 3/5 unu_n + 200 - 500 = 3/5 unu_n - 300 = 3/5 ( unu_n - 500) = (3/5) v n_n
      Donc suite géométrique de raison 3/5 et de premier terme v0v_0 = u0u_0 - 500 = 900 - 500 = 400

    Et aprés je suis completement paumée.
    Je dit que vnv_n = ((3/5)n((3/5)^n * 400)
    Mais je n'arrive pas à faire unu_n en fonction de n, ca me donne unu_n = ((3/5)n((3/5)^n * 400 ) + 500 et après je suis bloquée. Je n'arrive pas à faire le sens de variation ni la limite.
    Je pense que la tendance va s'inverser, N va détenir plus de clients que M mais comme je n'ai pas la fin je ne peux pas le prouver parce que je pense que (un(u_n) est décroissante.
    Merci de votre aide.



  • Bonjour,

    On sait que vnv_n = unu_n - 500

    donc unu_n = ???

    Il ne te reste plus qu'à remplacer vnv_n par (3/5)n(3/5)^n * 400 et tu aurs ce que tu cherches.



  • Bonjour,
    Ca donne unu_n =( (3/5)n(3/5)^n * 400 ) + 500
    C'est ce que j'ai fait, mais comment j'en déduis le sens de variation ?



  • Pense à utiliser la bonne vieille méthode qui consiste à comparer Un+1U_{n+1} à UnU_n pour tout n de mathbbNmathbb{N}.

    En fait cela revient à étudier le signe de Un+1U_{n+1} - UnU_n.

    Si Un+1U_{n+1} - UnU_n > 0 pour tout n de mathbbNmathbb{N} , alors la suite est ???

    Si Un+1U_{n+1} - UnU_n < 0 pour tout n de mathbbNmathbb{N} , alors la suite est ???



  • Un+1U_{n+1} - unu_n = ((9/25)n((9/25)^n * 240 ) - ((15/25)n((15/25)^n * 400)

    Donc je dis que (9/25)n(9/25)^n < (15/25)n(15/25)^n et que 240 < 400 donc que ((9/25)n((9/25)^n * 240 ) < ((15/25)n((15/25)^n * 400).
    Donc que u est décroissante.

    Pour la limite: unu_n = ((3/5)n((3/5)^n * 400 ) +500
    Donc que la fonction n → (3/5)n(3/5)^n, c'est une suité géométrique de raison (3/5) < 1 donc lim = 0.
    Et donc pour u, j'ajoute 0 à 500 pour trouver que lim u = 500.
    C'est ça non ?

    Et donc les 2 sociétés auront le même nombre de clients.


  • Modérateurs

    Salut.

    2.b) Tu peux effectuer le calcul plus simplement en factorisant tout ça, regarde : 😄

    uu{n+1}un-u_n = 400(3/5)400*(3/5)^{n+1}+500400(3/5)n+500-400*(3/5)^n-500
    uu
    {n+1}un-u_n = 400(3/5)n400*(3/5)^n(3/5-1)

    Donc uu_{n+1}un-u_n = 160(3/5)n-160*(3/5)^n.

    Là le signe est simple à affirmer non ? 😉

    En tout cas (un(u_n) est bien décroissante.

    Très bien pour la limite ! La limite de (un(u_n) étant la somme des limites de 400(3/5)n400*(3/5)^n et de 500, on trouve bien qu'elle vaut 500.

    @+



  • Merci pour la simplification !


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