Donner le barycentre de deux points

Bonjour à tous.
Voila j'ai un problème avec une partie de mon exercice :

A et B étant donnés exprimer lorsque cela est possible le vecteur AG en fonction de AB.
a)GA+5GB=0 a)AG=5/6AB
b)2GA-3GB=0 b)AG=3AB
c)-2GA-3GB=0 c)AG=3/5AB
d)2000GA-3000GB=0 d)AG=3AB
Aucun problème avec cela seulement ensuite on me demande à partir de ces exemples de faire une conjecture sur l'existence d'un ou de plusieurs points G tel que α GA + β GB = 0
Merci de bien vouloir essayer de m'aider.

Bonjour et bienvenue sur ce forum.

Il me semble qu'il n'y a pas d'erreur.

Donc tu as trouvé que pour

α = 1 et β = 5 , il existe un point G tel que $,αga⃗,+,βgb⃗,=,,0,⃗,\alpha\vec {ga} ,+,\beta\vec {gb} ,=,\vec {,0,}$
cela vient de si $1ga⃗,+,5gb⃗,=,,0,⃗1\vec {ga} ,+,5\vec {gb} ,=,\vec {,0,}$ alors $ag⃗,=,56ab⃗\vec {ag} ,=, \frac{5}{6}\vec {ab}$

α = 2 et β = -3 , il existe un point G tel que $,αga⃗,+,βgb⃗,=,,0,⃗,\alpha\vec {ga} ,+,\beta\vec {gb} ,=,\vec {,0,}$

α = 1 et β = 5 , il existe un point G tel que $,αga⃗,+,βgb⃗,=,,0,⃗,\alpha\vec {ga} ,+,\beta\vec {gb} ,=,\vec {,0,}$

α = -2 et β = -3 , il existe un point G tel que $,αga⃗,+,βgb⃗,=,,0,⃗,\alpha\vec {ga} ,+,\beta\vec {gb} ,=,\vec {,0,}$

α = 2 000 et β = -3 000 , il existe un point G tel que $,αga⃗,+,βgb⃗,=,,0,⃗,\alpha\vec {ga} ,+,\beta\vec {gb} ,=,\vec {,0,}$

Merci beaucoup et dernier problème:
Mettre au point l'énoncé d'un théorème qui démontre cette conjecture.
Je ne vois pas quoi faire.
Merci de bien vouloir essayer de m'aider une seconde fois.

Pour certaines valeurs de α et de β tu as montré qu'il existait un seul point G vérifiant

$,αga⃗,+,βgb⃗,=,,0,⃗,\alpha\vec {ga} ,+,\beta\vec {gb} ,=,\vec {,0,}$

Pour arriver à ce qui t'ai demandé il aurait fallu te faire chercher si on peut trouver un seul point G vérifiant $,2ga⃗,−,2gb⃗,=,,0,⃗,2\vec {ga} ,-,2\vec {gb} ,=,\vec {,0,}$

ou $,−10ga⃗,+,10gb⃗,=,,0,⃗,-10\vec {ga} ,+,10\vec {gb} ,=,\vec {,0,}$

Donc il est impossible de faire un théorème ?

Si ton prof ne t'as pas demandé de faire les dernières recherches, non.

Et si tu regardes dans ton livre (dans le chapitre barycentre) il doit bien y être le théorème (qui pour moi serait plutôt une définition, mais bon !) qu'il faut que tu trouves

Et si l'exemple 7GA-7GB=0 avait été donné quel serait le théorème ?

Regarde dans ton livre !

En regardant attentivement dans mon livre je pense avoir trouvé la définition appropriée.Merci de bien vouloir me dire si c'est celle ci :

Soient deux points A et B et deux réels a et b dont la somme n'est pas nulle.
Il existe un unique point G du plan tel que :
aGA+bGB=0
Ce point G est le barycentre des points A et B, affectés des coefficients respectifs a et b.

Mais je ne sais si c'est vraiment ce que ton prof voulait que vous trouviez !

Il me semble étrange qu'il ait oublié de vous faire chercher des points G dans le cas où

a + b = 0 .... mais bon !!

C'est juste une activité pour vous faire comprendre les barycentres.

Je me trompe si je dis que si a + b = 0 alors le barycentre n'existe pas ?

Oui tu auras tout gagné, sauf que ton prof ne t'a pas mis sur cette voie ... alors à toi de voir ce qu'il peut accepter (même si c'est un peu tôt dans l'année pour savoir cerner ce qu'il vous demande)

Merci beaucoup d'avoir répondu à toutes mes questions.
Je pense avoir compris quelques notions du barycentre maintenant.
Merci encore.