Suites et récurrence



  • Bonjour, alors voila j'ai un petit souci pour montrer qu'un suite est majorée à l'aide de la récurrence.

    (Un(U_n) est la suite définie pour tout entier n≥1 par un=2n+13n1u_{n}= \frac{2n+1}{3n-1}.

    On se propose de démontrer que (Un(U_n) est majorée par 32\frac{3}{2}.

    1.Première méthode

    a)Exprimer un32u_{n} - \frac{3}{2} en fonction de n.
    b) En déduire que (Un(U_n) est majorée par 32\frac{3}{2}.

    La première méthode a été fait en cours, elle est donc juste mais c'est la 2e que voici qui me pose problème :

    2.Deuxième méthode

    a) f est la fonction définie sur [1,+∞[ par : f(x)=2x+13x1f(x) = \frac{2x+1}{3x-1}.
    Etudier les variations de f et calculer f(1).

    J'ai calculé la dérivée f(x)=5(3x1)2f'(x) = \frac{-5}{(3x-1)^2}, la fonction est donc décroissante, en f(1) j'ai trouvé 32\frac{3}{2} et la lim en +∞, 0.
    Je pense avoir encore juste ici.

    b) En déduire que (Un(U_n) est majoré par 32\frac{3}{2}.

    On peut dire parce que en 1 on trouve cela puis ensuite que la fonction est décroissante, mais la prof nous a dit de faire par récurrence, je sais pas trop comment démarrer...

    Merci d'avance.

    Edit de J-C : rajout du \ pour que la fraction s'affiche bien en LaTeX.


  • Modérateurs

    Salut.

    2.a) La limite en +∞ de f pas de f' ! Ce qui donne "la limite des quotients des monômes de plus haut degré", donc 2/3. Sinon le reste est juste.

    2.b) On ne parle pas de f, mais de (Un(U_n), ce qui est complètement différent.

    Je commence la démonstration par récurrence.

    Par récurrence, montrons la propriété P(n) : "UnU_n≤3/2", n≥1.

    • n=1 : U1U_1=3/2, donc U1U_1≤3/2. P(1) est vraie.

    • Soit n fixé tel que P(n) est vérifiée.

    ... je te laisse continuer, je te rappelle que le but est de montrer que P(n+1) est vraie maintenant.

    @+



  • euh oui en f et pour le 2/3 c'est ce que je voulais dire, j'ai fait une erreur avec le latex c'est pour ca je pense, pour n=1 j'avais un peu près trouvé, je dois passer n+1 alors à la place? j'ai un peu du mal pour passer de n à n+1 dans la recurence, merci d'avance


  • Modérateurs

    Salut.

    Oui non laisse tomber ma remarque quand j'ai dit que la suite et la fonction étaient différentes, ici c'est des âneries. Comme tu l'as dit comme f est décroissante (Un(U_n) l'est alors forcément vu que lN⊂lR.

    Mais vu que ta prof a demandé une récurrence (alors que l'on utilise cette méthode que lorsque l'on considère des suites définies par relation de récurrence), on va faire avec.

    Tout simplement on va montrer que comme Un+1U_{n+1}UnU_n et que UnU_n≤3/2, alors Un+1U_{n+1}≤3/2. Je sais, c'est idiot, mais vu que ta prof le demande...

    On calcule donc UU_{n+1}Un-U_n, on montre que c'est négatif, et puis on conclue la récurrence.

    @+



  • d'accord merci, je vais essayer ceci, c'est peut etre pour nous faciliter la main avec les récurence, il suffit de montrer qu'elle est décroissante enfaite



  • 2b)
    pour u1u_1 on a 32\frac{3}{2}, donc c'est vrai lorsque n=1

    On sais que la suite u est décroissante donc un+1u_{n+1}unu_{n} alors on montre un+1u_{n+1}32\frac{3}{2} sachant que unu_{n}32\frac{3}{2} mais du coup la réponse est dans la question et le fait de montrer qu'elle est décroissante avec UU_{n+1}Un-U_n est inutile car on le sait deja à l'aide de f..... je suis un peu bloqué la... merci



  • enfait c'est bon j'ai reussi à le faire 😉


  • Modérateurs

    Salut.

    Je sais que c'est idiot : la récurrence n'apporte rien ici et allonge inutilement la rédaction. Tu as raison, il suffit de dire que pour tout x la différence est négative, donc la suite est décroissante par exemple. Ca prend une ligne, et c'est fini.

    Mais si ta prof le demande, ben on lui fait quand même.

    @+


 

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