Arithmetique



  • Bonjour

    j'ai un probleme dans la question 3-c de l'exercice suivant

    Soit n un entier naturel
    1- Déterminer pour tout entier n de {0,1,...,6} le reste modulo 7 de 3n3^n
    2- Montrer que 3n+63^{n+6} - 3n3^n est divisible par 7
    3-a- Calculer le reste modulo 7 de 310003^{1000}
    b- Quel est le chiffre des unités de 310003^{1000} ?
    c- Soit s la somme des chiffres du nombre 310003^{1000}.
    Quel est le reste modulo 7 de s ?

    Pouvez vous m'aider S.V.P

    Merci



  • Salut, où en es tu dans ton programme ? as tu vu les congruences ou les divisions euclidiennes seulement ?? 😕



  • Salut

    oui on a deja fait:

    • Divisibilité dans Z
    • Division euclidienne
    • Congruences
    • PGCD et PPCM

    Merci



  • ben vous n'avez pas trainé !!

    La méthode est la suivante : tu cherches les restes (avec les congruences) de 3n3^n modulo 7 pour n = 1, n= 2... jusqu'à trouver une puissance telle que le reste fasse 1 (tu trouves n = 6).

    Juste pour te guider ensuite, on pourra en déduire que 36k3^{6k} est congru à 1 pour tout k...
    ca devrait t'aider



  • Salut

    Merci de votre aide, mais ce que vous me dites je l'ai deja fait à la premiere question
    dans la question 3-c il s'agit de s la somme des chiffres de 310003^{1000}!!!!

    voici les reponses que j'ai trouvé des question precedantes:

    1- si n=6k 3n3^n 1\equiv 1 (7)
    si n=6k+1 3n3^n 3\equiv 3 (7)
    si n=6k+2 3n3^n 2\equiv 2 (7)
    si n=6k+3 3n3^n 6\equiv 6 (7)
    si n=6k+4 3n3^n 4\equiv 4 (7)
    si n=6k+5 3n3^n 5\equiv 5 (7)

    2- Puisque 7 est un nombre premier et 3 n'est pas divisible par 7 donc d'apres
    le Petit Théorème de Fermat on a:
    3711(7)3^{7-1} \equiv 1 (7) donc
    37110(7)3^{7-1}-1 \equiv 0 (7) donc
    3n+63n=3n(361)0(7)3^{n+6} - 3^n = 3^n(3^6-1) \equiv 0 (7)

    3-a- 31000=3996+4=36×166×343^{1000} = 3^{996+4} = 3^{6 \times 166} \times 3^4
    on a 39961(7)3^{996} \equiv 1 (7) et 344(7)3^4 \equiv 4 (7)
    donc 310004(7)3^{1000} \equiv 4 (7)

    b- On a: 34p1(10)3^{4p} \equiv 1 (10)
    34p+13(10)3^{4p+1} \equiv 3 (10)
    34p+29(10)3^{4p+2} \equiv 9 (10)
    34p+37(10)3^{4p+3} \equiv 7 (10) avecpnp \in n

    Puisque 31000=34×2501(10)3^{1000} = 3^{4 \times 250} \equiv 1 (10)
    d'où le chiffre des unités est 1

    Merci d'avance



  • ok, j'avais mal lu ta question...

    je vais y réfléchir...



  • salut fetdak, c'est juste pour te prévenir que je ne t'ai pas oublié.
    Je m'en occupe ce week end, pour l'instant pas de résultat probant sur mes essais...



  • mathemitec
    salut fetdak, c'est juste pour te prévenir que je ne t'ai pas oublié.
    Je m'en occupe ce week end, pour l'instant pas de résultat probant sur mes essais...

    Merci, c'est tres gentil



  • Bon, toujours pas de solution a te proposer mais je capitule pas !!


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