démonstration par récurrence



  • Bonjour,

    On vient de commencer le chapitre sur les récurrences. J'ai compris le principe et on a déjà fait quelques exemples, mais je bloque dans l'hérédité dans deux énoncés...

    Pour tout n≥5, démontrer que 2n2^n > n²
    dans l'initialisation:
    on a 252^5=32 et 5²=25 d'où
    32>25 d'où la proposition est vraie au rang 5

    dans l'hérédité:
    Supposons la proposition vraie au rang k (k≥5)
    c'est-à-dire 2k2^k > k²

    Là, il faut que j'arrive à la fin à 2k+12^{k+1} >(k+1)²
    or pour trouver 2k+12^{k+1}, il faut faire 2×2k2^k d'où
    2k2^k > 2k²
    Mais après, je ne sais pas comment continuer pour arriver à 2k+12^{k+1} >(k+1)²...

    Ensuite le deuxième énoncé: pour tout n≥0, démontrer que 4n4^n -1 est un multiple de 3.
    dans l'initialisation:
    on a 404^0 -1=0
    or 0 est un multiple de 3, donc la proposition est vraie au rang 0

    dans l'hérédité:
    Supposons la proposition vraie au rang k (k≥0)
    c'est-à-dire 4k4^k-1 est un multiple de 3

    Là aussi, à la fin je dois trouver 4k+14^{k+1}-1 multiple de 3
    or pour trouver 4k+14^{k+1}, je dois faire 4×4k4^k
    d'où 4×4k+14^{k+1}-1, mais ensuite comment je peux prouver que cela est bien un multiple de 3?

    Merci beaucoup et d'avance pour vos conseils et votre aide!



  • Salut, pour ce qui est du premier exercice, il te suffit de montrer que
    2k²>(k+1)² pour conclure.
    Pour le faire, tu pourras étudier le signe de la différence...



  • Bonjour,

    d'accord, merci beaucoup. je vais donc essayer de trouver le signe de cela en faisant la différence: 2k² - (k+1)²....

    Merci encore pour votre aide!


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