Démontrer une propriété par récurrence

[Spiky]

Bonjour,

On vient de commencer le chapitre sur les récurrences. J'ai compris le principe et on a déjà fait quelques exemples, mais je bloque dans l'hérédité dans deux énoncés...

Pour tout n≥5, démontrer que $2^n$ > n²
dans l'initialisation:
on a $2^5$=32 et 5²=25 d'où
32>25 d'où la proposition est vraie au rang 5

dans l'hérédité:
Supposons la proposition vraie au rang k (k≥5)
c'est-à-dire $2^k$ > k²

Là, il faut que j'arrive à la fin à $2^{k+1}$ >(k+1)²
or pour trouver $2^{k+1}$, il faut faire 2×$2^k$ d'où
2×$2^k$ > 2k²
Mais après, je ne sais pas comment continuer pour arriver à $2^{k+1}$ >(k+1)²...

Ensuite le deuxième énoncé: pour tout n≥0, démontrer que $4^n$ -1 est un multiple de 3.
dans l'initialisation:
on a $4^0$ -1=0
or 0 est un multiple de 3, donc la proposition est vraie au rang 0

dans l'hérédité:
Supposons la proposition vraie au rang k (k≥0)
c'est-à-dire $4^k$-1 est un multiple de 3

Là aussi, à la fin je dois trouver $4^{k+1}$-1 multiple de 3
or pour trouver $4^{k+1}$, je dois faire 4×$4^k$
d'où 4×$4^{k+1}$-1, mais ensuite comment je peux prouver que cela est bien un multiple de 3?

Merci beaucoup et d'avance pour vos conseils et votre aide!

[mathemitec]

Salut, pour ce qui est du premier exercice, il te suffit de montrer que
2k²>(k+1)² pour conclure.
Pour le faire, tu pourras étudier le signe de la différence...

[Spiky]

Bonjour,

d'accord, merci beaucoup. je vais donc essayer de trouver le signe de cela en faisant la différence: 2k² - (k+1)²....

Merci encore pour votre aide!