problème de cylindres



  • Bonjour. Voila mon problème : j'ai un exercice à faire en mathématiques mais je n'y arrive pas trop : "On dispose d'une feuille rectangulaire de dimensions x et y (en centimètres) dont le périmètre reste fixe, égal à 60 cm. A l'aide de ce rectangle, on fabrique un cylindre de hauteur x et de rayon de base R. On cherche à fabriquer le cylindre dont le volume est maximal. [...]

    1. Exprimer le rayon R de la base en fonction de y, puis en fonction de x.
    2. Exprimer le volume V(x) du cylindre en fonction de x.
    3. A l'aide de la calculatrice, trouver pour quelle valeur de x le volume de ce cylindre semble maximal. [...]
    4. Etudier le signe de V(10) - V(x). En déduire pour quelle valeur de x le volume du cylindre est maximal (on a admit que x app/ [0 ;30]).
    5. Calculer les dimensions de la feuille rectangulaire et le rapport de la longueur sur la largeur.

    Voici ce que j'ai fait :

    1. périmètre de la base : 2пR (п = pie)
      Soit y, la longueur du rectangle et donc le périmètre de la base.
      Donc 2пR = y equiv/ (2пR) / (2п) = y / (2п)
      equiv/ R = y / (2п)
      Pour x, je n’ai pas trouvé
    2. Soit V(x) le volume du cylindre et x la largeur du rectangle et donc la hauteur du cylindre.
      V(x) = пR²x cm3
    3. Je n’ai pas répondu à cette question.
    4. Si x app/ [0 ;10], V(10) – V(x) = (пR²10) – (пR²x)
      = 10пR² - xпR²
      donc V(10) – V(x) >= 0
      Si ) x app/ [10 ;30], V(10) – V(x) = (пR²
      10) – (пR²x)
      = 10пR² - xпR²
      donc V(10) – V(x) <= 0
      Par conséquent, le volume du cylindre est maximal si x = 10.
    5. périmètre de la feuille = 60 = 2(x+y)
      Donc 60 = 2(10+y)
      equiv/ 60 = 20 + 2y
      equiv/ 60 – 20 = 20 + 2y - 20
      equiv/ 40 = 2y
      equiv/ 40 / 2 = 2y / 2
      equiv/ y = 20
      x = 10 et y = 20 or 20 = 2*10 donc y = 2x

    Est-ce que quelqu’un peut me dire si je me suis trompée ou si il connaît la réponse aux questions que je n’ai pas su résoudre, s’il vous plait ? Tout ce que vous pourrez me dire m’aiderait énormément. Merci à tous pour votre aide ou du moins pour avoir lu cet immense message. Bonne continuation à tous. P. S. : ce site est super bien !



  • Bonjour Metalleuse.
    C'est sans doute une réponse trop tardive... tant pis !
    Pour ce que tu n'as pas fait à la question 1, il faut exploiter l'info sur le périmètre du rectangle, constamment égal à 60. Ainsi, on a x + y = 30.
    Donc y = 30 - x, et il faut remplacer y par cette expression dans R.
    Je n'ai pas le courage de me mettre dans le reste, désolé.
    A +



  • Merci beaucoup pour ton explication, Zauctore. Malheureusement, elle était un peu trop tardive, mais c'était quand même sympa à toi d'avoir pris le temps de me la donner.


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