Calculer les premiers termes d'une suite et montrer qu'elle est géométrique

[bobgnigni]

Bonjour,
J'ai un Dm à rendre pour demain, j'ai fini tous les exos apart une question.
Alors voila l'exo en question :

La suite u est définie pour tout naturel n par $u_0$ = 0 $u_1$ = 2 et la relation $u_{n+2}$ = ( $u_{n+1}$ + $u_n$ ) ÷ 2

1. Calculer ses dix premiers termes. Donc j'ai trouvé :
   $u_2$ = 1
   $u_3$ = 3÷2
   $u_4$ = 5÷4
   $u_5$ = 11÷8
   $u_6$ = 21÷16
   $u_7$ = 43÷32
   $u_8$ = 85÷64
   $u_9$ = 171÷128

2. Soit d la suite définie par $d_n$ = $u_n$ - $u_{n+1}$
   Calculer les dix premiers termes de la suite d. Donc j'ai trouvé :
   $d_0$ = -2
   $d_1$ = 1
   $d_2$ = -1÷2
   $d_3$ = 1/4
   $d_4$ = -1/8
   ...etc $d_9$ = 1÷256

Quelle conjecture peut-on faire à leur sujet ?
Conjecture : plus n augmente, plus $d_n$ tend vers 0 et que $d_n$ = 1÷$(-2{)}^{n-1}$

3. Démontrer que d est une suite géométrique ; en indiquer les éléments caractéristiques.
   donc j'ai fait $d_{n+1}$÷$d_n$
   j'ai trouver = -1÷2 --> constant
   donc comme le résultat est constant, d est une suite géométrique de raison -1÷2 et de terme initial $d_0$ = -2

4. Déduire de la question précédente l'expression de $u_n$ en fonction de n.
   La je bloque :
   j'ai juste pensé à $u_n$ = ( ... + $(-1{)}^{n-1}$)÷$2^{n-2}$

Merci d'avance si vous pouvez m'aider pour cette question 4 !!!

Edit Zorro : le "pour demain" dans le titre n'est pas une information importante. La prochaine fois, il sera inutile de nous préciser ce genre d'information. On t'aidera même si c'était pour hier. Le principal c'est que tu progresses et comprennes, pas forcément que tu rendes un DM sans fautes. A bientôt

[mathemitec]

Bon, l'idée est la suivante : tu as par définition $d_k$ = $u$k$-u</em>k+1$.
Donc
$d_0$ = $u$_0$-u_1$
$d_1$ = $u$_1$-u_2$
...
$d_n$ = $u$n$-u</em>n+1$.

Tu fais la somme de ces n+1 inégalités : la somme de gauche est facile (somme de termes géométriques) celle de droite se simplifie...

[bobgnigni]

Déjà Merci mathemitec !

Mais je vois pas du tout ou cela nous mène...
J'ai pas vraiment compris ton raisonnement... :rolling_eyes: sorry...

[mathemitec]

tu écris les n+1 égalités suivantes :
d0 = u0-u1
d1 = u1-u2
...
dn = un-un+1.

Tu les additionnes :

1. à gauche, somme des termes d'une suite géo., donc tu peux l'exprimer en fonction de n (formule du cours)
2. à droite : tous les termes se simplifient 2 à 2 et il te reste juste
   $u$0$-u</em>n+1$
3. tu as donc bien exprimé $u_{n+1}$ en fonction de n...

ok ?

[bobgnigni]

ok je regarde merci je reviens !

[bobgnigni]

Super j'ai tout compris merci beaucoup !!!
et merci aussi de ne pas m'avoir donner la réponse car moi qui aime les maths je prends plaisir a trouver par moi meme les résultats !!!

MERCI !!!!!
Bonne soirée !!!

[mathemitec]