Exo suites



  • Bonjour,
    J'ai un Dm à rendre pour demain, j'ai fini tous les exos apart une question.
    Alors voila l'exo en question :

    La suite u est définie pour tout naturel n par u0u_0 = 0 u1u_1 = 2 et la relation un+2u_{n+2} = ( un+1u_{n+1} + unu_n ) ÷ 2

    1. Calculer ses dix premiers termes. Donc j'ai trouvé :
      u2u_2 = 1
      u3u_3 = 3÷2
      u4u_4 = 5÷4
      u5u_5 = 11÷8
      u6u_6 = 21÷16
      u7u_7 = 43÷32
      u8u_8 = 85÷64
      u9u_9 = 171÷128

    2. Soit d la suite définie par dnd_n = unu_n - un+1u_{n+1}
      Calculer les dix premiers termes de la suite d. Donc j'ai trouvé :
      d0d_0 = -2
      d1d_1 = 1
      d2d_2 = -1÷2
      d3d_3 = 1/4
      d4d_4 = -1/8
      ...etc d9d_9 = 1÷256

    Quelle conjecture peut-on faire à leur sujet ?
    Conjecture : plus n augmente, plus dnd_n tend vers 0 et que dnd_n = 1÷(2)n1(-2)^{n-1}

    1. Démontrer que d est une suite géométrique ; en indiquer les éléments caractéristiques.
      donc j'ai fait dn+1d_{n+1}÷dnd_n
      j'ai trouver = -1÷2 --> constant
      donc comme le résultat est constant, d est une suite géométrique de raison -1÷2 et de terme initial d0d_0 = -2

    2. Déduire de la question précédente l'expression de unu_n en fonction de n.
      La je bloque :
      j'ai juste pensé à unu_n = ( ... + (1)n1(-1)^{n-1}2n22^{n-2}

    Merci d'avance si vous pouvez m'aider pour cette question 4 !!! 😉

    Edit Zorro : le "pour demain" dans le titre n'est pas une information importante. La prochaine fois, il sera inutile de nous préciser ce genre d'information. On t'aidera même si c'était pour hier. Le principal c'est que tu progresses et comprennes, pas forcément que tu rendes un DM sans fautes. A bientôt



  • Bon, l'idée est la suivante : tu as par définition dkd_k = uuku</em>k+1-u</em>{k+1}.
    Donc
    d0d_0 = uu_0u1-u_1
    d1d_1 = uu_1u2-u_2
    ...
    dnd_n = uunu</em>n+1-u</em>{n+1}.

    Tu fais la somme de ces n+1 inégalités : la somme de gauche est facile (somme de termes géométriques) celle de droite se simplifie...



  • Déjà Merci mathemitec !

    Mais je vois pas du tout ou cela nous mène...
    J'ai pas vraiment compris ton raisonnement... :rolling_eyes: sorry...



  • tu écris les n+1 égalités suivantes :
    d0 = u0-u1
    d1 = u1-u2
    ...
    dn = un-un+1.

    Tu les additionnes :

    1. à gauche, somme des termes d'une suite géo., donc tu peux l'exprimer en fonction de n (formule du cours)
    2. à droite : tous les termes se simplifient 2 à 2 et il te reste juste
      uu0u</em>n+1-u</em>{n+1}
    3. tu as donc bien exprimé un+1u_{n+1} en fonction de n...

    ok ?



  • ok je regarde merci je reviens !



  • Super j'ai tout compris merci beaucoup !!!
    et merci aussi de ne pas m'avoir donner la réponse car moi qui aime les maths je prends plaisir a trouver par moi meme les résultats !!!

    MERCI !!!!!
    Bonne soirée !!!



  • 😉


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