Comment résoudre des équations / inéquations

Salut à tous !

Voila j'ai un devoir maison et je bloque sur la premiere question qui m'est indispensable pour répondre aux autres questions. Je ne demande pas de reponse mais juste un pti coup de main ou bien une explication ou un indice si cela ne vous dérange pas bien sur voila je ne cherche pas à ce qu'on me donne la réponse directement je prefere faire travailler mon cerveau c'est plus efficace pour la suite !

Voila l'enoncé :

*Soit A le point de coordonnées (1;2) . A chaque point P de l'axe (0x) d'abscise x ( x>1) , on associe le point Q de l'axe (0y) de façon que A,P et Q soient alignés . On désigne par S(x) l'axe du triangle OPQ.

Calculer OQ et verifier S(x)= x²/ (x-1)

*C'est donc pour le calcul de OQ que je bloque completement car on conné seulement que Q(0;y) et P ( x;0) . J'ai essayé de tout faire pythagore , thales , vecteur colinéaire mais à chaque fois je me retrouve avec 2 inconnues et je bloque .

Je voulais aussi vous demander pour ce type d'equation et d'inéquation :

3x( x²-(1/4)) = 2( x² -(1/4)) ou celle la 1/( 2x+3)≤ 2x+3

est ce que je dois comparer par rapport a zéro et trouvé un intervalle grace au tableau de signe ou bien trouver la valeur exacte de x ?? si oui par quelle méthode ?? J'ai essayer de factoriser la premiere équation tout en comparant par rapport a 0 mais je me retrouve avec beaucoup de carré et comme on n'a toujours pas commencé le cours des équations du second degré... c'est dur !

Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider je lui en serais tres reconnaisante.

Merci beaucoup !!!

Bonjour,

Tu connais les coordonnées de 2 points A(1;2) et P(x;0)

Tu peux donc trouver l'équation Y = aX + b de la droite (AP) et le b sera l'ordonnée de Q.

Pour ta 2ème question :

3x (x² - 1/4) = 2 (x² - 1/4) ⇔ 3x (x² - 1/4) - 2 (x² - 1/4) = 0 à résoudre en factorisant

1/(2x+3) ≤ 2x+3 ⇔ 1/(2x+3) - 2x+3 ≤ 0

mettre les fractions de gauche au même dénominateur et résolution avec un tableau de signes.

Merci pour ta réponse rapide !!

Pour la premiere explication , c'est bien en faisant le taux d'accroissement qu'on doit trouvé l'équation d'une droite en gros la fonction ??... J'ai esayé et je me retrouve toujours avec 2 inconnues x et b . C 'est sur que mon travail est faux lol .

Pour l'equation on trouve a la fin ( x-0.5)(x+0.5)(3x+2) =0 c'est bien ça ? Pour la deuxieme je trouve (4x²-8)/2x+3

Merci beaucoup de ton aide précieuse !!

x n'est pas une inconnue ... c'est une variable

rapelle toi en 3ème quand on te demandait d'exprimer p(x) le pix à payer pour x trucs sachant qu'1 truc coûte 6€
c'était pour vous faire écrire des fonctions linéaires

ici c'est pareil : x est la longueur variable du segment [OP]

Salut et MERCI !

Franchement je n'arrive pas à comprendre ...
x est une variable , on sait que x,abscisse de P, doit etre strictement plus grand que 1. Mais pour une abscisse de 2 par exemple quel est la valeur de y ? Comment savoir cela ? J'essaye de determiner y=ax+b seulement c''est toujours le x qui me pose probleme je n'arrive pas a l'enlever dans mon calcul .

En esperant que je ne dérange pas
Merci beaucoup !!!

Puisque ton énoncé t'oblige à prendre x pour l'abscisse de P, il faut chercher une équation de (AP) sous la forme Y = aX + b

As-tu remarqué que dans cette équation j'ai utilisé X et Y ?

si Y = aX + b est l'équation de la droite (AP)
alors un point M de coordonées (X ; Y) appartient à (AP) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation donnée.

Il fait donc faire ce que je te conseillais : trouver l'équation Y = aX + b de la droite (AP) et le b sera l'ordonnée de Q.

Dans l'équation Y = aX + b de la droite (AP) que tu trouveras :

a et b seront donnés en fonction de x, puisque la droite (AP) dépendra du point P choisi, donc du x choisi ; tu ne pourras pas éliminer les x, ils sont nécessaires à la suite du raisonnement

(comme pour le prix de x trucs il dépend du x choisi )

Salut et encore merci!

Donc en gros je dois choisir un x et déterminer l'equation cartésienne de AP avec les vecteurs AP et AM .

J'ai essayé avec x=3 et j'ai trouvé x/-2+3 . Le graphique corespond pas mal au graphique de l'enoncé sauf que OQ≠OP alors que dans le graphique j'ai mesuré OQ et OP et il sont tous deux égaux ( OQ=3 et OP=3)...
Je sens que c'est faux puisque x ne doit pas etre égale à 3 mais à tout réels plus grand que 1 c'est bien ça ?
Une quetion : est ce que S(x) ( dans l'enoncé ) a un rapport avec l'equation de AP ???

Merci beaucoup pour tes conseils

Non, tu ne dois pas choisir un x comme tu veux !

Tu dois raisonner avec un x quelconque .....

Comme en 3ème quand on te demandait le prix de x trucs .....

Là on te demande l'aire du triangle OPQ pour x quelconque (ni 2 , ni 3 , ni 1098 ...)

DOnc on commence par chercher l'équation Y = aX + b (ici X et Y)

Il faut trouver a et b en fonction de x (ici x)

Tu ne dois pas te mélanger les pinceaux entre x = abcsisse de P et

X et Y coordonnées d'un point M quelconque de la droite (AP)

Tant que tu ne donneras pas un truc qui ressemble à Y = aX + b (ici X et Y) ce sera faux !!!!

Pour te répondre à la 2ème question : pour connaître l'aire de OPQ tu connais OP = x

et c'est tout ...

Donc il serait souhaitable de connaitre OQ (donc l'ordonnée de Q) d'où l'idée de chercher une équation de la droite (AP) pour connaître l'ordonnée de Q.

Désolé j'ai des difficultés à comprendre merci beaucoup de m'aider !!
Donc en faisant le taux d'accroissement de AP je trouve que a =2/(x-1)
est ce que c'est juste pour le a ?

Encore merci

OP=x ? ce n'est pas x+1 puisque x doit etre plus grand que 1 ? C'est un ami qui m'a justement embrouillé sur ça
Merci encore

L'énoncé est très clair :

Citation
A chaque point P de l'axe (0x) d'abscise x ( x>1)

celal signifique que la longueur OP = x (avec x > 1)

Quant au coefficient directeur de (AP) tu fais une erreur de signe

a = $y_P$ - $y_A$ ) / $x_P$ - $x_A$ )

Ah désolé mois j'ai fais $f (x$ _2 $) - f (x$ _1 $) / x$ _2 $x_1$
Donc si j'applique ta formule cela fait a=-2x+1

Encore Merci !!!

Ensuite pour le b je bloque
on doit resoudre l'equation (2x+1)X+b=Y c'est bien cela ?

Mais il n'y a pas de fonction f ... ici

Le coefficient directeur d'une droite (AP) quand on connait les coordonnées de A et de P est donnée par la formule que j'ai donnée ....

a = $y_P$ - $y_A$ ) / $x_P$ - $x_A$ )

Il faut remplacer
$y_P$ par ordonnée de P = ??
$y_A$ par ordonnée de A = ??
$x_P$ par abscisse de P = ??
$x_A$ par abscisse de A = ??

Et ici cela ne donne absolument pas -2x+1 !!!!!

aahh oui oula désolé je n'ai pas vu la barre de division j'ai cru que c'était une multiplication lol ...
Ah donc sa fait -2/(x-1)

MERCIIIII

l'equation à résoudre est bien (-2(x-1))X+b=y
Si c'est cette equation c'est le x qui me gêne et du coup je bloque completement ! Comment faire pour le supprimé ou comment résoudre cette équation ?

Merci beaucoup beaucoup :rolling_eyes:

Citation
l'equation à résoudre est bien (-2(x-1))X+b=y

pas tout à fait .... une équation de la droite (AP) est de la forme Y = -2/(x+1)X + b

Il faut maintemant dire que le point A de coordonnées X = 1 et Y = 2 appartient à cette droite ; donc ses coordonnées vérifient l'équation ci-dessus ...

ce qui donne 2 = -2/(x+1)*1 + b

tu peux donc trouver b en fonction de x ... ce qu'on cherche depuis le début

Les coordonnées de Q dépendent de celles de P(x ; 0) : plus tu mettras le point P vers la droite, plus le point Q descendra ves O

Merci de ta réponse !

alors cela fait :

2 = -2/(x+1)*1 + b
-2/(x-1) + b - 2 = 0
b= 2/(x-1) + 2
b=2/(x-1) + 2x-1/x-1
b=( 2 + 2x -1 ) / (x-1)
b= (2x + 1)/ (x-1)

C'est ça ???

Merci beaucoup

*Edit Zorro : ajout d'espace dans la 2ème ligne qui ne s'affichait pas correctement *

Il n'y aurait pas comme une erreur de calcul ?

Quand tu mets au même dénominateur, dans la 4ème ligne, tu oublies de multiplier -1 par 2

ah oui c'est vrai !
donc sa fait
b = (2x -2) / (x-1) ?

Non cela (donc ça et non sa) ne fait pas (2x -2) / (x-1)

Il y a encore une erreur de calcul !!!

Salut encore merci et désolée pour mes fautes stupides !!

Donc b = 2x / (x-1)
J'espere que c'est la bonne réponse cette fois . Donc 2x / (x-1) = Q donc à OQ ??
Donc si c'est la bonne réponse je trouve bien que l'aire du triangle est de x²/ x-1 puisque (2x/(x-1) * x / 2 les 2 se simplifient et restent x²/ x-1.

on nous demande " quelle conjecture pouvait vous faire sur le sens de variation S sur ]1 ;+∞[ " : est ce que il peut y avoir plusieurs sens de variation car quand je visualise dans ma calculatrice , je trouve que S(x) est décroissante sue [1.2 ;2] et croissante sur [2 ;+∞[ ? est ce que cela est normal ?

Un GRAND MERCI POUR TON AIDE !!

Rappelle toi le tableau de variation de la fonction f définie par f(x) = $x^2$

La fonction est décroissante sur ..... puis croissante sur .....

Ici il est de même

f décroissante sur ..... (pourquoi 1,2 ? d'où il vient ? de la réprésentation graphique sur ta calculatrice ? mais que se passe-t-il alors entre 1 et 1,2 ?)

f croissante sur .....

Merci !

Sur la calculatrice , il y a deux paraboles sur le graphique : une qui est en haut de l'axe des abscisses ( décroissante sur [1.2;2] et croissante sur [2;+∞[) , et une autre en bas de l'axe des abscisses (croissante sur ]-∞;0] et décroissante sur [0;0.8] ). Entre 0.8 et 1.2 il n'y a rien .

Donc je dois prouver que S(x) est décroissante sur [1.2 ;2] et croissante sur [2 ;+∞[ ?? C'est bien cela ?

Et aussi on nous demande d'en deduire la valeur minimale mais il y en a deux 0.8 et 1 ou alors ce n'est que 0.8 ? Ce qui m'embrouille c'est qu'entre 0.8 et 1.2 il n'y a rien .

MERCI MERCI

Je viens de regarder mon tableau de valeur et je trouve qu'il n'y a pas d'image que pour la valeur 1 . C'est bon j'ai fait quelque réglage dans le graphique et je trouve que c'est que pour 1 qu'il n 'y a rien . Mais la parabole débute au point ( 1.05... ;15.076... ) donc décroissante jusqu'a 2 et croissante dans [2;+∞[ . Il n'y a rien dans [0;1]

Sur ta calculatrice la courbe commence en 1,05 parce que tu l'as paramétrée pour obtenir ce résultat.

Or la fonction f est définie sur ]1 ; +∞[

Tu as constaté qu'elle changeait de sens de variation en 2, il faut donc rédiger ainsi :

f est décroissante sur ]1 ; 2[ et croissante sur ]2 ; +∞[

Merci de ton aide !!

ok c'est ce que j'ai deja commencé à faire
Sauf qu'encore une fois je bloque !! Je sais que c'est du niveau seconde mais comme j'ai l'habitude de faire avec des sommes de carré ou des produits c'est beaucoup plus facile à factoriser mais avec des quotient .... lol je bloque . Il faut bien mettre au meme dénominateur pour :
a² / (a-1) - b² / ( b-1) < 0
Donc normalement ce qui donne
a²(b-1) - b²(a-1) / ( ab - a - b + 1)
mais ensuite je n'arrive pas à factoriser pour aboutir à une expression plus simplifier . Si tu pourrais bien m'aider s'il te plait encore une fois si cela ne te dérange pas bien sur sans ton aide precieuse j'en serais pas la !!!!!

MERCIIIIII BEAUCOUPPPPP

Pour étudier le signe de S(a) - S(b) il faut en effet étudier le signe de

$a2,a−1,,−,b2,b−1,\frac{a^2}{,a-1,},-, \frac{b^2}{,b-1,}$

Il faut donc mettre ces 2 fractions au même dénominateur qui est ici ????

Et puisque tu veux étudier le signe de cette expression, il est plus aisé de le faire avec une forme factorisée et en utilisant l'hypothèse ?? < a < b < ?? ou autre chose selon ce que tu as choisi ...

Merci encore !!

Donc le meme dénominateur qui est ici (a-1)(b-1)
Ce qui fait a²-b² / (a-1)(b-1) ce qui fait qu'ensuite je dois étudier l'expression (a-b)(a+b) / (a-1) (b-1) c'est bien cela ??
On sait que 1<a<b<2 pour la premiere démonstration par contre je ne comprends pas quel forme factorisée il faut utilisé ??

Merci mille fois !!

De rien et à la prochaine fois, mais je ne sais pas s'il faut la souhaiter cette prochaine fois ... il serait bien que tu trouves par toi même les réponses.

Mais nous serons toujours là pour t'aider en cas de besoin, et en fonction de l'encombrement du forum la réponse sera plus ou moins rapide.

C'est tres gentil de votre part de nous consacrer un peu de votre temps pour nous aider !!!
Lol les question que j'ai posé et où je n'arrivais pas à comprendre ne sont qu'un petit bout du devoir le reste je le ferais toute seule je suis quand meme en 1 ere S !

Un grand merci

De rien et peut-être que tu n'auras plus besoin de nous ...

Salut !
Je n'arrete pas de ramer j'ai encore un probleme !!!! ma derniere chance c'est ce forum !! Je sais que je dois encore déranger mais je ne comprends pas !!!

c'est sur justement la suite de la démonstration de (a-b)(a+b) / (a-1) (b-1) qui est décroissante sur ]1;2[ . J'ai un gros probleme je n'arrive pas du tout à démontrer que cette expression est décroissante j'essaye de factoriser mais je ne trouve aucune forme plus simplifiée que celle la . J'ai essayé en disant que a>1 donc a-1>0 pareil pour b ,
a-b>0 puisque il sont dans l'intervalle ]1;2[
mais pour a+b je n'arrive pas je me retrouve avec a+b>2 ???

De plus c'est que je dois démontrer que 4 avec x=2 est le minimum de cette courbe mais avec cette expression je ne vois pas comment arriver à x²/(x-1)≥2

En esperant que je pourrais recevoir une petite aide sa serait tres tres tres gentil meme plus que gentil !!!

Merci d'avance !

Citation
(a-b)(a+b) / (a-1) (b-1) qui est décroissante sur ]1;2[

Cette phrase ne vaut rien dire ...

si a et b sont des réels alors (a-b)(a+b) / (a-1) (b-1) est un autre nombre

et ce nombre il peut être positif ou négatif ou nul

Ce qui est croissant ou décroisant ce sont des fonctions c'est à dire des machines à transformer des réels (des nombres) en d'autres réels (d'autres nombres)

Un nombre possède un signe ...

Une fonction est croissante ou décroissante ou constante sur un intervalle I à déterminer

Les nombres a et b doivent être dans quel intevalle ?

donc ??? < a < b < ???

Merci de m'aboir répondue !!

l'intervalle ou doivent se trouver a et b est 1 < a < b < 2 puisque f est décroissante sur ]1;2[. Mais ensuite comment le démontrer ???

Encore merci !!

En regardant le signe de f(a) - f(b) quand ??? < a < b < ???

Je ne comprends pas ce n'est pas l'encadrement 1 < a < b < 2 ??

Il faut démontrer qu'une fonction est croissante ou décroissante sur ]1;2[.

Il faut donc prendre 2 réels a et b de ]1;2[ avec a < b donc

1 < a < b < 2

et il faut étudier le signe de f(a) - f(b) qui est égal à ???

Donc il faut se poser la question du signe de (a-b)(a+b) / (a-1) (b-1)

sachant que a < b quel est le signe de a - b ?

sachant que 1 < a < b quel est le signe de a + b ?

sachant que 1 < a quel est le signe de a - 1 ?

sachant que 1 < b quel est le signe de b - 1 ?

donc quel est le signe de (a-b)(a+b) / (a-1) (b-1) quand 1 < a < b < 2 ?