suite, raisonnement par récurrence



  • bonjour, je viens juste de voir en cours le raisonnement par récurrence et c'est encore assez flou pour le moment... J'ai un exercice à faire, voici ce que j'ai fait:

    (Vn) est la suite définie par Vo=2 et pour tout entier naturel n, Vn+1 = Vn²+2 / 2Vn

    a) démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, Vn> √2

    ..............................................................................................................
    --> P(n): Vn >√2

    1ère étape: P(0) est-elle vraie?
    Vo=2

    n=0
    donc Vo >√2
    2 > √2

    ainsi P(0) est vraie

    2ème étape: Hypothèse par récurrence

    Supposons que P(k) est vraie

    Vk > √2

    Vk² > (√2)²

    Vk² +2 > 2 +2

    (Vk² + 2) / 2Vk > 4 / 2vk

    (Vk² +2) / 2Vk > 2 /Vk

    ainsi pour tout entier naturel n, Vn > √2
    ..................................................................................................................

    Avant de passer à la suite j'aimerais savoir ce que vous penser de ce que j'ai fait
    Merci beaucoup pour votre aide!



  • Bonjour,

    il y a une ambiguité dans ton énoncé

    vn+1,=,,(vn)2,+,2,2vnv_ {n+1},=,\frac{,(v_n)^2,+,2 ,}{2v_n}

    ou autre chose ?

    Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.



  • c'est bien ce que vous avez marqué



  • Bin tu arrives à (V(V_k2^2 +2) / 2Vk2V_k > 2 /Vk/V_k

    donc Vk+1V_{k+1} > 2 /Vk/V_k et non ce qu'il faudrait Vk+1V_{k+1} > √2



  • il ne fallait pas faire comme ça?



  • Je dois avouer que je n'ai pas vraiment cherché ; ton idée de départ paraissait bonne mais elle semble ne pas aboutir.



  • :frowning2:



  • calcule Vk+1V_{k+1} - √2

    fractions au même dénominateur etc ...

    tu vas arriver sur une identité remarquable du genre (a - b)2b)^2 = ???

    donc tu démontreras que Vk+1V_{k+1} - √2 > 0



  • Merci

    PS: est-ce bien par récurrence?



  • ya quelqu'un?



  • Bin oui tu utilises VkV_k > √2 donc VkV_k > 0

    Tu en as besoin dans la démonstration


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