suite, raisonnement par récurrence

bonjour, je viens juste de voir en cours le raisonnement par récurrence et c'est encore assez flou pour le moment... J'ai un exercice à faire, voici ce que j'ai fait:

(Vn) est la suite définie par Vo=2 et pour tout entier naturel n, Vn+1 = Vn²+2 / 2Vn

a) démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, Vn> √2

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--> P(n): Vn >√2

1ère étape: P(0) est-elle vraie?
Vo=2

n=0
donc Vo >√2
2 > √2

ainsi P(0) est vraie

2ème étape: Hypothèse par récurrence

Supposons que P(k) est vraie

Vk > √2

Vk² > (√2)²

Vk² +2 > 2 +2

(Vk² + 2) / 2Vk > 4 / 2vk

(Vk² +2) / 2Vk > 2 /Vk

ainsi pour tout entier naturel n, Vn > √2
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Avant de passer à la suite j'aimerais savoir ce que vous penser de ce que j'ai fait
Merci beaucoup pour votre aide!

Bonjour,

il y a une ambiguité dans ton énoncé

$vn+1,=,,(vn)2,+,2,2vnv_ {n+1},=,\frac{,(v_n)^2,+,2 ,}{2v_n}$

ou autre chose ?

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

c'est bien ce que vous avez marqué

Bin tu arrives à $(V$ _k $^2$ +2) / $2V_k$ > 2 $V_k$

donc $V_{k+1}$ > 2 $V_k$ et non ce qu'il faudrait $V_{k+1}$ > √2

il ne fallait pas faire comme ça?

Je dois avouer que je n'ai pas vraiment cherché ; ton idée de départ paraissait bonne mais elle semble ne pas aboutir.

:frowning2:

calcule $V_{k+1}$ - √2

fractions au même dénominateur etc ...

tu vas arriver sur une identité remarquable du genre (a - $b)^2$ = ???

donc tu démontreras que $V_{k+1}$ - √2 > 0

Merci

PS: est-ce bien par récurrence?

ya quelqu'un?

Bin oui tu utilises $V_k$ > √2 donc $V_k$ > 0

Tu en as besoin dans la démonstration