nombres complexes exercice n°2 (de liz !!!)


  • L

    houla non zorro , je ne suis pas du tout la meme personne , mais peut etre que c'est quelqu'un du lycée qu'a eu le meme travail a faire , j'en sais rien , mais j'ai pas que sa a fair a me passer pour d'autres personnes , enfin voila .
    finalement hier soir , j'ai revu certaines formules et j'ai réussi a finir notre exercice qu'on a commencé ensemble zoombinis.. j'te remercie de ta patience d'ailleurs .
    sauf que la , le professeur nous a donné un autre exercice que j'ai commencé , mais sur lequel je bloque ,il est très court ..

    Pour tout z, on pose f(z) = z4z^4z4-z³+z²+2,

    1)Démontrer que si alfa est solution de l'équation f(z) =0 alors alfa bar et aussi solution de cette équation
    2) Démontrer que 1+i et -1+i√3/2 sont solutions de l'équation f(z)=0.
    3) en déduire que f(z) est le produit de deux polynomes de degré deux a coéfficients réels.

    ps: il y'avait une 10zaine de question dans cet exercice et il y'en a seulement 3 sur lesquels je bloque , merci votre aide , j'attends votre réponse zoombinis....
    amicalemen Liz.


  • Z

    bon tu sais que α = a + ib et que son conjugué est égal à a - ib

    il s'agit d'une application pur et dur tu vas devoir montrer que
    f(a + ib) = f( a - ib)


  • L

    zoombinis
    bon tu sais que α = a + ib et que son conjugué est égal à a - ib

    il s'agit d'une application pur et dur tu vas devoir montrer que
    f(a + ib) = f( a - ib)
    z est réel si et seulement si b=0 et si z= z bar
    donc il n'ya pas de partie imaginaire .. si je comprends bien ..


  • L

    la je doi dabord remplacer z par x + iy et trouver les solutions non?


  • Z

    Bonne chance pour trouver les solutions alors parce que là c'est du degré 4!
    non tu sais déja que un nombre complexe α qu'on represente par a + ib vérifie l'equation f(x) = 0. tu dois montrer et ça je te l'ai déja ecrit que :

    f(a +ib) = f(a - ib)


  • L

    f(a+ib)=f(a-ib)
    donc f(a+ib)-f(a-ib) =0


  • Z

    Si tu veux mais t'as toujours rien prouvé.

    Tu aurais du creer un nouveu post pour ton nouvel exercice.


  • L

    zoombinis
    Si tu veux mais t'as toujours rien prouvé.

    Tu aurais du creer un nouveu post pour ton nouvel exercice.

    a mince , j'avais complétement oublié , excuz moi , eu ba sa ferai :
    ( z4z^4z4-z³+z²+2)−(z+2)-(z+2)(z^4+z³+z^³+z³+z²+2)=0
    donc (z4(z^4(z4-z³+z²+2)−z4+2)-z^4+2)z4+z³-z²-2 =0


  • L

    liz
    zoombinis
    Si tu veux mais t'as toujours rien prouvé.

    Tu aurais du creer un nouveu post pour ton nouvel exercice.

    a mince , j'avais complétement oublié , excuz moi , eu ba sa ferai :
    ( z4z^4z4-z³+z²+2)−(z+2)-(z+2)(z^4+z³+z^³+z³+z²+2)=0
    donc (z4(z^4(z4-z³+z²+2)−z4+2)-z^4+2)z4+z³-z²-2 =0

    t'es toujours la , pour qu'on puisse continuer ........?


  • L

    f(x+iy)=f(x-iy) sa j'ai compris


  • L

    liz
    f(x+iy)=f(x-iy) sa j'ai compris
    svp j'en peu plus d'attendre...dsl mai sa doit fair 2heure que je suis dessus , quelqu'un pourrait l'aider sil vou plai... :frowning2:


  • Z

    calcules f(x + iy)


  • L

    zoombinis
    calcules f(x + iy)
    f(x+iy) =(x+iy)=(x+iy)=(x+iy)^4−(x+iy)³-(x+iy)^³(x+iy)³+(x+iy)²+2
    = (x+iy)4(x+iy)^4(x+iy)4-[x³+3x(iy)²+3(x)²(iy)-y +x²+2x(iy)+(iy)²+2


  • L

    zoombinis
    calcules f(x + iy)
    f(x+iy) =(x+iy)=(x+iy)=(x+iy)^4−(x+iy)³-(x+iy)^³(x+iy)³+(x+iy)²+2
    = (x+iy)4(x+iy)^4(x+iy)4-[x³+3x(iy)²+3(x)²(iy)-y ]+x²+2x(iy)+(iy)²+2


  • Z

    ah bah enfin tu commences le travail mais ce n'est pas fini :
    tu dois tout développer , tout réduire.

    ( à moins que tu trouves une méthode plus rapide dans ton cours ...)


  • L

    mai je sais pa dévelopé (x+iy)4(x+iy)^4(x+iy)4 mais jevais simplifier le reste déja


  • Z

    (x+iy)4(x+iy)^4(x+iy)4 = (x+iy)² × (x+iy)²


  • L

    et mais sa me fait un trop long calcul sa : (x+iy)²(x+iy)² je me suis mélangé , pour le reste je trouve : -x³-3x(-y)+x²+2+i(-3x²y+2xy)


  • Z

    pourtant il va bien falloir que tu le fasse (x+iy)4(x+iy)^4(x+iy)4 parce que moi j'ai pas vraiment envie de le faire.


  • Z

    le développement de (x+iy)3(x+iy)^3(x+iy)3 est faux. Si tu ne te souviens plus de la formule , même chose tu dois faire : (x + iy)2iy)^2iy)2×(x+iy)


  • L

    zoombinis
    pourtant il va bien falloir que tu le fasse (x+iy)4(x+iy)^4(x+iy)4 parce que moi j'ai pas vraiment envie de le faire.
    alor (x+iy)3(x+iy)^3(x+iy)3 = x³+3x²iy+3x(-y)²-y³
    et (x+iy)4(x+iy)^4(x+iy)4= x4x^4x4+2x³-yx²+y²+i(2x²y +2x³y +4x²y-2xy(-y)-2xy²)


  • L

    alors ?


  • L

    liz
    zoombinis
    pourtant il va bien falloir que tu le fasse (x+iy)4(x+iy)^4(x+iy)4 parce que moi j'ai pas vraiment envie de le faire.
    alor (x+iy)3(x+iy)^3(x+iy)3 = x³+3x²iy+3x(-y)²-y³
    et (x+iy)4(x+iy)^4(x+iy)4= x4x^4x4+2x³-yx²+y²+i(2x²y +2x³y +4x²y-2xy(-y)-2xy²)


  • L

    f(x+iy) = x4x^4x4+y²-x³-3x(-y)²-y³+x²+2+i[-3x²y+2xy+2x²y+2x³y+4x²y-2xy(-y)-2xy²]
    la c sa.


  • L

    liz
    f(x+iy) = x4x^4x4+y²-x³-3x(-y)²-y³+x²+2+i[-3x²y+2xy+2x²y+2x³y+4x²y-2xy(-y)-2xy²]
    la c sa.
    ???


  • L

    je voudrais juste savoir si mon calcul est bon , merci .


  • Zorro

    Moi j'aurais essayé de faire plus simple.

    Soit z tel que f(z) = 0

    et j'aurais caluculé f(zˉ),=,(zˉ)4,−,(zˉ)3,+,(zˉ)2,+2f(\bar {z}),=,(\bar {z})^4 , - , (\bar {z})^3 , + ,(\bar {z})^2 , +2f(zˉ),=,(zˉ)4,,(zˉ)3,+,(zˉ)2,+2

    Or ,(zˉ)4,=,???,, (\bar {z})^4 , = , ???,,(zˉ)4,=,???, et ,−(zˉ)3,=,???,,-(\bar {z})^3 , = , ???,,(zˉ)3,=,???, et ,(zˉ)2,=,???, (\bar {z})^2 , = , ???,(zˉ)2,=,???


  • L

    Zorro
    Moi j'aurais essayé de faire plus simple.

    Soit z tel que f(z) = 0

    et j'aurais caluculé f(zˉ),=,(zˉ)4,−,(zˉ)3,+,(zˉ)2,+2f(\bar {z}),=,(\bar {z})^4 , - , (\bar {z})^3 , + ,(\bar {z})^2 , +2f(zˉ),=,(zˉ)4,,(zˉ)3,+,(zˉ)2,+2

    Or ,(zˉ)4,=,???,, (\bar {z})^4 , = , ???,,(zˉ)4,=,???, et ,−(zˉ)3,=,???,,-(\bar {z})^3 , = , ???,,(zˉ)3,=,???, et ,(zˉ)2,=,???, (\bar {z})^2 , = , ???,(zˉ)2,=,???
    a dacor , j'éssai et je te di ce que j'ai trouvé apré merci


  • L

    (z bar 4^44) = (x−iy)4(x-iy)^4(xiy)4-(x-iy)³+(x-iy)²+2


  • L

    oui mais après j'suis obligé de développé non?


  • Zorro

    ,(zˉ)4,=,zˉ,×,zˉ,×,zˉ,×,zˉ,=,(zˉ,×,zˉ),×,(zˉ,×,zˉ), (\bar {z})^4 , = ,\bar {z}, \times , \bar {z} , \times ,\bar {z} , \times ,\bar {z} ,=,(\bar {z}, \times , \bar {z}), \times ,(\bar {z}, \times , \bar {z}),(zˉ)4,=,zˉ,×,zˉ,×,zˉ,×,zˉ,=,(zˉ,×,zˉ),×,(zˉ,×,zˉ)

    Or ,(zˉ)2,=,???, (\bar {z})^2 , = , ???,(zˉ)2,=,??? quelle expression en fonction de ,z2,, z^2,,z2, ???


  • L

    (zbar )²= (x+iy)² bar non? OU (z bar ×zbar)


  • Zorro

    Je te demande de me donner ,(zˉ)2,,, (\bar {z})^2,,,(zˉ)2,, en fonction de ,z2,, z^2,,z2, pas de ,zˉ,,, \bar {z},,,zˉ,,

    Tu vas trouver ,(zˉ)4,,, (\bar {z})^4,,,(zˉ)4,, en fonction de ,z4,, z^4,,z4, pas de ,zˉ,,, \bar {z},,,zˉ,,


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