nombres complexes exercice n°2 (de liz !!!)

houla non zorro , je ne suis pas du tout la meme personne , mais peut etre que c'est quelqu'un du lycée qu'a eu le meme travail a faire , j'en sais rien , mais j'ai pas que sa a fair a me passer pour d'autres personnes , enfin voila .
finalement hier soir , j'ai revu certaines formules et j'ai réussi a finir notre exercice qu'on a commencé ensemble zoombinis.. j'te remercie de ta patience d'ailleurs .
sauf que la , le professeur nous a donné un autre exercice que j'ai commencé , mais sur lequel je bloque ,il est très court ..

Pour tout z, on pose f(z) = $z^4$ -z³+z²+2,

1)Démontrer que si alfa est solution de l'équation f(z) =0 alors alfa bar et aussi solution de cette équation
2) Démontrer que 1+i et -1+i√3/2 sont solutions de l'équation f(z)=0.
3) en déduire que f(z) est le produit de deux polynomes de degré deux a coéfficients réels.

ps: il y'avait une 10zaine de question dans cet exercice et il y'en a seulement 3 sur lesquels je bloque , merci votre aide , j'attends votre réponse zoombinis....
amicalemen Liz.

bon tu sais que α = a + ib et que son conjugué est égal à a - ib

il s'agit d'une application pur et dur tu vas devoir montrer que
f(a + ib) = f( a - ib)

zoombinis
bon tu sais que α = a + ib et que son conjugué est égal à a - ib

il s'agit d'une application pur et dur tu vas devoir montrer que
f(a + ib) = f( a - ib)
z est réel si et seulement si b=0 et si z= z bar
donc il n'ya pas de partie imaginaire .. si je comprends bien ..

la je doi dabord remplacer z par x + iy et trouver les solutions non?

Bonne chance pour trouver les solutions alors parce que là c'est du degré 4!
non tu sais déja que un nombre complexe α qu'on represente par a + ib vérifie l'equation f(x) = 0. tu dois montrer et ça je te l'ai déja ecrit que :

f(a +ib) = f(a - ib)

f(a+ib)=f(a-ib)
donc f(a+ib)-f(a-ib) =0

Si tu veux mais t'as toujours rien prouvé.

Tu aurais du creer un nouveu post pour ton nouvel exercice.

zoombinis
Si tu veux mais t'as toujours rien prouvé.

Tu aurais du creer un nouveu post pour ton nouvel exercice.

a mince , j'avais complétement oublié , excuz moi , eu ba sa ferai :
( $z^4$ -z³+z² $+ 2) - (z$ ^4 $z^³$ +z²+2)=0
donc $z^4$ -z³+z² $2)-z^4$ +z³-z²-2 =0

liz
zoombinis
Si tu veux mais t'as toujours rien prouvé.

Tu aurais du creer un nouveu post pour ton nouvel exercice.

a mince , j'avais complétement oublié , excuz moi , eu ba sa ferai :
( $z^4$ -z³+z² $+ 2) - (z$ ^4 $z^³$ +z²+2)=0
donc $z^4$ -z³+z² $2)-z^4$ +z³-z²-2 =0

t'es toujours la , pour qu'on puisse continuer ........?

f(x+iy)=f(x-iy) sa j'ai compris

liz
f(x+iy)=f(x-iy) sa j'ai compris
svp j'en peu plus d'attendre...dsl mai sa doit fair 2heure que je suis dessus , quelqu'un pourrait l'aider sil vou plai... :frowning2:

calcules f(x + iy)

zoombinis
calcules f(x + iy)
f(x+iy) $= (x + i y)$ ^4 $x+iy)^³$ +(x+iy)²+2
= $x+iy)^4$ -[x³+3x(iy)²+3(x)²(iy)-y +x²+2x(iy)+(iy)²+2

zoombinis
calcules f(x + iy)
f(x+iy) $= (x + i y)$ ^4 $x+iy)^³$ +(x+iy)²+2
= $x+iy)^4$ -[x³+3x(iy)²+3(x)²(iy)-y ]+x²+2x(iy)+(iy)²+2

ah bah enfin tu commences le travail mais ce n'est pas fini :
tu dois tout développer , tout réduire.

( à moins que tu trouves une méthode plus rapide dans ton cours ...)

mai je sais pa dévelopé $x+iy)^4$ mais jevais simplifier le reste déja

$x+iy)^4$ = (x+iy)² × (x+iy)²

et mais sa me fait un trop long calcul sa : (x+iy)²(x+iy)² je me suis mélangé , pour le reste je trouve : -x³-3x(-y)+x²+2+i(-3x²y+2xy)

pourtant il va bien falloir que tu le fasse $x+iy)^4$ parce que moi j'ai pas vraiment envie de le faire.

le développement de $x+iy)^3$ est faux. Si tu ne te souviens plus de la formule , même chose tu dois faire : (x + $iy)^2$ ×(x+iy)

zoombinis
pourtant il va bien falloir que tu le fasse $x+iy)^4$ parce que moi j'ai pas vraiment envie de le faire.
alor $x+iy)^3$ = x³+3x²iy+3x(-y)²-y³
et $x+iy)^4$ = $x^4$ +2x³-yx²+y²+i(2x²y +2x³y +4x²y-2xy(-y)-2xy²)

alors ?

liz
zoombinis
pourtant il va bien falloir que tu le fasse $x+iy)^4$ parce que moi j'ai pas vraiment envie de le faire.
alor $x+iy)^3$ = x³+3x²iy+3x(-y)²-y³
et $x+iy)^4$ = $x^4$ +2x³-yx²+y²+i(2x²y +2x³y +4x²y-2xy(-y)-2xy²)

f(x+iy) = $x^4$ +y²-x³-3x(-y)²-y³+x²+2+i[-3x²y+2xy+2x²y+2x³y+4x²y-2xy(-y)-2xy²]
la c sa.

liz
f(x+iy) = $x^4$ +y²-x³-3x(-y)²-y³+x²+2+i[-3x²y+2xy+2x²y+2x³y+4x²y-2xy(-y)-2xy²]
la c sa.
???

je voudrais juste savoir si mon calcul est bon , merci .

Moi j'aurais essayé de faire plus simple.

Soit z tel que f(z) = 0

et j'aurais caluculé $f(zˉ),=,(zˉ)4,−,(zˉ)3,+,(zˉ)2,+2f(\bar {z}),=,(\bar {z})^4 , - , (\bar {z})^3 , + ,(\bar {z})^2 , +2$

Or $(\bar {z})^4 , = , ???,$ et $,−(zˉ)3,=,???,,-(\bar {z})^3 , = , ???,$ et $(\bar {z})^2 , = , ???$

Zorro
Moi j'aurais essayé de faire plus simple.

Soit z tel que f(z) = 0

et j'aurais caluculé $f(zˉ),=,(zˉ)4,−,(zˉ)3,+,(zˉ)2,+2f(\bar {z}),=,(\bar {z})^4 , - , (\bar {z})^3 , + ,(\bar {z})^2 , +2$

Or $(\bar {z})^4 , = , ???,$ et $,−(zˉ)3,=,???,,-(\bar {z})^3 , = , ???,$ et $(\bar {z})^2 , = , ???$
a dacor , j'éssai et je te di ce que j'ai trouvé apré merci

(z bar $^4$ ) = $x-iy)^4$ -(x-iy)³+(x-iy)²+2

oui mais après j'suis obligé de développé non?

$(\bar {z})^4 , = ,\bar {z}, \times , \bar {z} , \times ,\bar {z} , \times ,\bar {z} ,=,(\bar {z}, \times , \bar {z}), \times ,(\bar {z}, \times , \bar {z})$

Or $(\bar {z})^2 , = , ???$ quelle expression en fonction de $z^2,$ ???

(zbar )²= (x+iy)² bar non? OU (z bar ×zbar)

Je te demande de me donner $(\bar {z})^2,,$ en fonction de $z^2,$ pas de $\bar {z},,$

Tu vas trouver $(\bar {z})^4,,$ en fonction de $z^4,$ pas de $\bar {z},,$