Exercice " les D et les Q " 3 [ besoin explication A svp ]



  • Bonjour ! Je mets le troisieme exercice , ! Si vous pouvez m'aider et m'expliquer , je suis sur le forum ^^

    Titre : caractérisaton des éléments D et Q

    A. developpement decimal periodoque d'un rationnel

    1. Cas general

    a et b designent des entiers naturels , b different de 0.

    a) Lorsqu'on calcule le quotient a/b, expliquer pourquoi le developpement decimal obtenu est périodique ( c'est a dire , qu'une séquence de chiffres se répéte indéfiniment.

    b) Pour quels rationnels , le developpement décimal est-il fini ?

    c) Enoncer le resultat général démontré.


    Pour le a), je pensais dire " le development decimal obtenu est periodique car ce sont toujours le meme chiffres qui reviennent , le quotient ne se fini pas."

    Pour la b) , dois-je énoncer pleins de rationels ou non ? Je ne sais pas quelle methode utiliser

    Pour la c) , j'ai du mal a comprendre cette consigne !

    Merci de m'aider tout le monde 🙂



  • La a) est bizarre, je ne pensais pas qu'on la poserait en Seconde...

    Mais bon. Le truc est que, à chaque fois qu'on divise par Q , on peut tomber sur des restes allant de 0 à Q - 1. Au bout de Q+1 divisions, on est sûr d'être tombé deux fois sur un des restes. La suite des restes va alors se répéter...

    Extrait de Wikipedia (ce que je viens de dire est un résumé de ce qui suit)

    On peut démontrer que tout nombre rationnel possède un développement décimal illimité périodique. Pour le comprendre, il suffit de généraliser le principe de la division précédente. Supposons que l'on divise P par Q, dans la division de P par Q, on est amené, pour les décimales après la virgule, à « abaisser des zéros ». Si le reste précédent est r, on cherche alors à diviser 10r par Q. Les restes de la division sont en nombre fini (0, 1, ..., Q - 1), donc on ne peut pas prolonger indéfiniment la division sans rencontrer deux restes identiques. Si on appelle r1 et r'1 les deux premiers restes identiques, on voit que la division de 10r1 par Q sera identique à celle de 10r2 par Q, donnera le même quotient q1 = q'1 et même reste r2 = r'2 et ainsi de suite.

    Les nombre qui ont un DD fini sont les nombres décimaux c'est à dire ceux de la forme a / 10n10^n

    En effet si on les multiplie par 10 autant de fois qu'il y a de chiffres après la virgule, on tombe sur un entier.

    J'espère avoir pu t'aider (mais c'est quand même bizarre qu'on pose ces questions en Seconde)

    Voilà !



  • Merci !
    J'ai pas compris mais voila comment je redige :

    3.Cas général

    a) Le DD obtenu est periodique , car , à chaque fois qu'on divise par b, on à des restes qui vont de 0 à b-1. Au bout de b+1 ,on est sur de tomber deux fois sur un des restes .

    b) Les nombre qui ont un DD fini sont les nombres décimaux , ceux de la forme a / 10n

    c) Le resultat général démontré est que si on multiplie par 10 les DD autant de fois qu'il y a de chiffres apres la virgule , on tombe forcement sur un entier.

    [ pour le a je n'ai pas compris du tout 😢 ]



  • Il faut que tu mettes tes réponses à B et C dans la même réponse B

    La réponse à la C est :

    Tout nombre rationnel de la forme a/b avec a et b entiers possède soit un développement décimal infini et périodique, soit, dans le cas des nombre décimaux, fini.

    Voilà !



  • Merci beaucoup car vous etes le seul a m'avoir aider , je vous suis tres reconaissante!
    Si vous avez du temps , pouvez vous m'aider pour l'exercice 2 !
    Si non , c'est pas grave merci beaucou quand même !!


 

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