Etude d'une fonction rationnelle... (DM de T.S pour demain)

Bonsoir !

Voila, je doit rendre un DM pour demain, et je bloque complètement sur l'exercice ci-dessous. Si vous pouviez m'aider ce serait fort sympathique. :frowning2:

Soit la fonction polynôme P définie sur par P(x)=4x³+3x²-2.
a. Etudier les variation de P.
b. Démontrer que sur l'intervalle [0;+∞[, l'équation (E) : P(x)=0, admet une solution unique a .
c. Démontrer que, sur l'intervalle ]-∞;0], l'équation (E) n'admet pas de solution.

Soit l'intervalle ]-1;+∞[ noté I.
On considère la fonction f définie sur I par : f(x)=(2x+1)/(x³+1).
On note (L) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O;i;j), (unité graphique 4 cm)
a.En utilisant les résultats de la question 1., étudier les variations de la fonction f.
b.Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (L) au point d'abscisse 0.
c.Etudier les positions relatives de la courbe (L) et de la tangente (T) sur ]-1;+∞[.

3.a. Vérifier et justifier que : 0,60 < a < 0,61.
b. Démontrer que f(a)=2/3².
c. En déduire que 1,7 <f(a)< 1,9

4.a.Démontrer que (L) admet deux droites asymptotes dont on donnera une équation .
b.Représenter (L), (T) et les droites asymptotes.

En espérant votre aide, merci d'avance...

Edit de J-C : remplacement des 2 et 3 par des ² et ³ afin de corriger les problèmes d'affichage.

Salut.

1.a) Calcul de la dérivée, et étude du signe de celle-ci.
1.b) Théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle.
1.c) Idem, enfin... presque.

2.a) Commence par dériver f pour comprendre le rapport avec la question 1.a).
2.b) Elle est de la forme y(x) = f'(0)(x-0)+f(0).
2.c) Il faut étudier le signe de la différence f(x)-y(x).

Commence déjà par arriver ici, parce que je ne comprends pas ce qu'est "a" en partie 3).

@+

Merci pour la réponse !

Quand je fais la dérivée je tombe 12x²+6x.
Pour étudier son signe, je la met sous la forme 12x²+6x>0 (pour arriver a faire mon tableau par la suite)
Mais je tombe sur (1/2)*√(1/4), et cela me semble bizarre. . .

pour ce qui est du 3 c'est normale, j'ai oublier une lettre ici "b. Démontrer que sur l'intervalle [0;+∞[, l'équation (E) : P(x)=0, admet une solution unique
a." (la 1.b.)

Salut.

1.a) P'(x)=12x²+6x effectivement.

Je ne comprends pas d'où tu sors tout ton charabia.

Il suffit de factoriser pour trouver les racines !

P'(x) = 6x(2x+1) = 12x(x+1/2)

@+

j'ai jamais fais comme ça (et le plus souvent j'avais faux lol). Donc là, la fonction est du signe de a (ici positive) sauf entre les racines ?

mais en prenant 2x+1 et x+(1/2) je ne voix pas comment étudier le signe...

Pour étudier le signe de la dérivée qui a pour expression

P'(x) = 6x (x+1) il faut faire un tableau de signe ...

un ligne avec le signe de 6x
un ligne avec le signe de x + 1

Et une ligne avec le signe de 6x (x+1)

Si tu es en Ter S tu devrais te souvenir de ce que tu as fait en seconde ! non ?