suis-je sur la bonne voie (recurrence)



  • Salut à tous

    Est-ce que quelqu'un pourrait me corriger s'il vous plait ?

    U0U_0U0=a
    Un+1U_{n+1}Un+1= UUU_n(2−Un(2-U_n(2Un)

    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0 < UnU_nUn < 1 ( on suppose que 0 < a < 1 )

    initialisation

    0 < a < 1 U0U_0U0 = a donc 0 < UnU_nUn <1 est vrai pour n=0

    hérédité si 0 < UnU_nUn < 1 alors 0 < Un+1U_{n+1}Un+1 < 1

    si 0 < UnU_nUn < 1
    alors 0 < 2Un2U_n2Un < 2
    alors 0 < 2Un2U_n2Un - UnU_nUn² < 1 ( pas sûre )
    alors 0 < UnU_nUn(2 - UnU_nUn) < 1
    alors 0 < Un+1U_{n+1}Un+1 < 1

    La propriété est donc vraie et est héréditaire

    Est-ce correct ?
    Merci d'avance ^^

    ps : Comment pourrais-je montrer que (Un(U_n(Un) est croissante ?

    Edit de J-C : passage aux indices, et correction du problème d'affichage qui nous empêchait de comprendre l'exercice.



  • Vrai mais pas bien rédigé:

    1. Vérification au rang initial =>OK
    2. On suppose que l'hypothe soit vraie au rang p (0<Up<1)
    3. Vérifions au rang p+1 :
      0<Un<1
      -1<-Un<0
      1<2-Un<2 (x 0
      Ensuite multiplication membre à membre des deux inégalité car elles sont positives et dans le même sens, d'où:
      0<Un(2-Un)<2

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