Ensemble de points pour que z nombre complexe soit un réel / imaginaire

Bonjour,
J'ai un problème avec un exercice sur les nombres complexes.
Voici l'énoncé:

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O; vecteur u; vecteur v).
Soit f la fonction définie sur $mathbb{C}$ privé de i par f(z) = (z- 1 + 2i) / (z-1) = z'.
1.a. Calculer f(1)
b.Résoudre f(z) = 2-3i.
2.On pose z = x +iy et z' = x'+iy' où x, y, x', y' sont des réels.
a.Démontrer que x' = (x²+y² -x+y-2) / (x² + (y-1)²) et y' = (3x+y-1)/(x²+(y-1)²)
b.Déterminer l'ensemble E des points M d'affixe z du plan tel que z' soit un réel.
c.Déterminer l'ensemble F des points M d'affixe z du plan tel que z' soit un imaginaire pur.
d.Représenter E et F.

Voilà,
Alors pour calculer f(1), j'ai trouvé f(1) = (2i-2)/2
Parce que la prof veut pas de i au dénominateur donc voilà.

Par contre pour résoudre f(z) = 2-3i j'ai essayé des trucs mais ca n'aboutit pas comme:
f(z) = 2-3i = (z-1+2i)/(z-i)
Donc z - 1 +2i = (z-i)(2-3i)
⇔ z - 1 +2i = 2z -2i -3iz +3i²
⇔z-1+2i = 2z -2i -3iz -3
⇔z = 2z -2i -3iz -3+1-2i
⇔-z = -4i -3iz -2
⇔z = 4i -3iz - 2
Est-ce que c'est ça ? Ca me parait étrange comme résultat.

Pour démontrer que x' = (x²+y² -x+y-2) / (x² + (y-1)²) et que y' = (3x+y-1)/(x²+(y-1)²).
J'ai beau remplacé dans f(z), z par x+iy, ca me donne des trucs vrt bizarres.
Je ne sais pas comment faire.

Enfin pour déterminer les ensembles, comme z' = x'+iy' alors
z' = (x²+y² -x+y-2) / (x² + (y-1)²) + i (3x+y-1)/(x²+(y-1)²)
Donc si z' ∈ $mathbb{R}$ ⇔ Im (z) = 0 ⇔ (3x+y-1)/(x²+(y-1)²) = 0
Mais je ne reconnais pas l'ensemble, de même que pour :
Si z' ∈ $mathbb{R}$ ⇔ Re(z) = 0 ⇔ (x²+y² -x+y-2) / (x² + (y-1)²) = 0

Voilà.
Pourriez vous m'aider ?
Merci

Salut.

$\frac{z-1+2i}{z-i} = z'$

1.a) Oui j'ai également f(1) = -1+i.

1.b) Ta dernière ligne ets fausse. Ce passage est faux :

z = -4i -3iz -2 ⇔ z = 4i -3iz - 2

Erreur de signe mise à part, z n'est pas isolé. Il faudrait déjà regrouper 3iz et z, parce que l'équation n'est pas encore résolue.

2.a) Pourtant c'est bien ça, dans l'égalité f(z) = z' il faut remplacer z et z' par leurs nouvelles expressions et puis ensuite isoler les parties réelles et imaginaires.

2.b et c) Peut-être qu'en simplifiant les expressions tu pourrais te ramener à des équations connues (équattions de cercles ?) : par exemple vu qu'il y a un 0 dans le membre de droite, tu pourrais faire disparaitre le dénominateur gênant.

@+

Bonjour,

j ai regardé vite fais le debut de cet exercice et je comprends pas pourquoi dans le 2)a pour x' par exemple on a un denominateur de la forme :

$x^2+(y-1)^2$ et pas $x-1)^2+y^2$

Car :
$z'=\frac{z-1+2i}{z-1}\z=x+iy\x'+iy'=\frac{...}{x + iy - 1}=\frac{...}{(x-1)^2+(y)^2}$

Voila si vous pouvez m aider merci d avance...

oupss désoler j avais pas vu la reponse mais en fait
$z′=z−1+2iz−iz'=\frac{z-1+2i}{z-i}$

j ai rien dis...

Bonjour,
Merci pour votre aide!
J'ai réussi à trouver f(z) = 2-3i.
Les ensembles sont respectivement une droite d'équation y= -3x+1 et un cercle de rayon √2 et de centre Ω ( 1/2 ; -1/2 )
Car z' = (x²+y²-x+y-2/x²+((y-1)²) + i (3x+y-1/x² + (y-1)²)
Sinon je n'arrive pas à démontrer x' et y'! Pouvez vous m'aider ?

je suis nouvelle ici e je ne sait pas trop comment fonctionne ce site j'ai besoin d'aide pour un devoir c'est assez urgent quelqu'un pourrait m'aider???

Bonjour et bienvenue sara94,

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